曲率次元条件を満たす測度距離空間の離散空間による近似

满足曲率维数条件的测度度量空间的离散空间逼近

基本信息

批准号：
22K03291
负责人：
北別府悠
金额：
$ 2.5万
依托单位：
Kumamoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2027-03-31
项目状态：
未结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03291/
关键词：
Gromov-Hausdorff 収束 Mosco 収束曲率次元条件ハイパーグラフ

项目摘要

本年度は測度距離空間の列が Gromov-Hausdorff 収束する時にエネルギー形式が Mosco 収束するための十分条件について検討を行った。RCD 空間の場合はエントロピー汎関数の凸性からエネルギー形式の Mosco 収束が引き出せる。具体的にはエントロピー汎関数の勾配の Gromov-Hausdorff 収束に関する下半連続性から測度に関する情報を得る。あとは CD 理論で得られたエントロピー汎関数の勾配流と Cheeger エネルギーに関する熱流の一致からエネルギー形式の収束を得る。しかしグラフなどの離散空間による連続空間の近似ではエントロピー汎関数の凸性は通常の L2-Wasserstein 距離に関して決して得ることができない。したがって Gromov-Hausdorff 収束と比較的相性の良い測度の収束とエネルギー形式の収束の関係は明らかではない。しかしながらグラフの曲率の定義によっては熱流の凸性自体が得られることもあり、RCD 理論の手法を真似ることで Mosco 収束を得ようと試行錯誤していた。今までその手法に変わるものは認識していなかったが RCD 理論の発展前の手法(Cheeger-Colding 理論)を用い、別の方法で Mosco 収束を引き出す可能性を学んだ。この手法は極限空間が多様体であれば適用できる可能性がある。例えば列の Ricci 曲率が下に有界でなくても極限空間自体の Ricci 曲率が下に有界であれば Mosco 収束ができるのではないかと考え、シンプレクティックトーリック多様体の場合にこの理論が適用できないかも研究をしている。

今年，当测量距离空间的序列在Gromov-Hausdorff收敛时，我们研究了能量形式在MOSCO中收敛的足够条件。在RCD空间的情况下，能量形式的MOSCO收敛可以从熵功能的凸度中得出。具体而言，有关测量的信息是从熵功能梯度的Gromov-Hausdorff收敛的较低半接管中获得的。其余的是从熵功能的梯度流的巧合和CD理论获得的Cheeger能量的热流中找到能量形式的收敛性。但是，在使用离散空间（例如图形）的连续空间近似中，对于正常的L2-Wasserstein距离，无法获得熵功能的凸度。因此，尚不清楚与Gromov-Hausdorff收敛相对兼容的度量收敛与能量形式的收敛性之间的关系。但是，根据图的曲率定义，可以获得热流本身的凸度，并且我们一直在尝试和错误来通过模仿RCD理论的方法来获得MOSCO收敛。直到现在，我从未意识到任何会改变该方法的东西，但是我使用RCD理论的发展前方法（Cheeger-Colding理论）了解了以另一种方式引起Mosco收敛的可能性。如果极限空间是多种多样的，则可能适用此技术。例如，即使列的RICCI曲率在下面没有界限，也可以在下面的极限空间本身的RICCI曲率下面达到MOSCO收敛，并且我们正在研究该理论是否不能应用于符号分类的折线。