ラフパス解析の視点に立った確率微分方程式の解の近似に関する研究

本年度は、多次元の非整数Brown運動により駆動される確率微分方程式の解に対してEuler-丸山近似を考え、その誤差過程の研究を行った。具体的には、誤差過程が一種の中心極限定理を満たすという予想を示すことを目標に研究を進めた。昨年度に得られた「重複積分の差の漸近挙動に関する結果」と「摂動法を用いた誤差解析」を合わせることで先の予想を証明するという方針をとったが、技術的な問題が解決できずに目標を達成することはできなかった。しかし、研究の過程において、予想が相当程度の信頼性を持つことがわかった。以下、詳しく説明していく。摂動法について説明する。摂動法とは、「解の近似過程を元の確率微分方程式の駆動過程を少しずらした確率微分方程式の解として表すこと」がアイデアである。特にずらしとして折れ線を考える。このアイデアは、「誤差過程をもとの確率微分方程式の解の折れ線方向へのMalliavin微分を用いて表す」とも言い換えることができる。昨年度は、この方法により、1次元の確率微分方程式の解の近似の誤差過程に対する極限定理を示した。このアイデアを実行する際には、「どのような折れ線を使えば良いか」が問題となる。特に、適切な折れ線の存在や表現が重要となる。しかし、現段階においては、技術的な困難により折れ線を厳密に構成することは出来ていない。一方で、折れ線の候補となるものの具体的な表示が得られており、そこには重複積分の差が現れる。重複積分の差が現れることは別の形式的な計算からも導かれる。この意味において予想の信頼度が上がったと言える。以上のように、非整数Brown運動により駆動される確率微分方程式の解に対するEuler-丸山近似の近似誤差の漸近挙動を調べる研究を本年度中に完成しなかったことは大変に残念であるが、最終的な段階を迎えているように見える。引き続き研究を行い、結論を導きたい。

本年度は、多次元の非整数Brown運動により駆動される確率微分方程式の解に対してEuler-丸山近似を考え、その誤差過程の研究を行った。具体的には、誤差過程が一種の中心極限定理を満たすという予想を示すことを目標に研究を進めた。昨年度に得られた「重複積分の差の漸近挙動に関する結果」と「摂動法を用いた誤差解析」を合わせることで先の予想を証明するという方針をとったが、技術的な問題が解決できずに目標を達成することはできなかった。しかし、研究の過程において、予想が相当程度の信頼性を持つことがわかった。以下、詳しく説明していく。摂動法について説明する。摂動法とは、「解の近似過程を元の確率微分方程式の駆動過程を少しずらした確率微分方程式の解として表すこと」がアイデアである。特にずらしとして折れ線を考える。このアイデアは、「誤差過程をもとの確率微分方程式の解の折れ線方向へのMalliavin微分を用いて表す」とも言い換えることができる。昨年度は、この方法により、1次元の確率微分方程式の解の近似の誤差過程に対する極限定理を示した。このアイデアを実行する際には、「どのような折れ線を使えば良いか」が問題となる。特に、適切な折れ線の存在や表現が重要となる。しかし、現段階においては、技術的な困難により折れ線を厳密に構成することは出来ていない。一方で、折れ線の候補となるものの具体的な表示が得られており、そこには重複積分の差が現れる。重複積分の差が現れることは別の形式的な計算からも導かれる。この意味において予想の信頼度が上がったと言える。以上のように、非整数Brown運動により駆動される確率微分方程式の解に対するEuler-丸山近似の近似誤差の漸近挙動を調べる研究を本年度中に完成しなかったことは大変に残念であるが、最終的な段階を迎えているように見える。引き続き研究を行い、結論を導きたい。