Fourier解析的手法に基づいた確率微分方程式の近似理論の研究

基于傅里叶分析方法的随机微分方程逼近理论研究

• 批准号: 22K13932
• 负责人: 永沼 伸顕
• 金额: $ 3万
• 依托单位: Kumamoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2026-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-22K13932/
• 关键词: 確率微分方程式; ラフパス解析; マリアバン解析; 近似理論; フーリエ解析

本年度は非整数ブラウン運動などのガウス過程を駆動過程とする確率微分方程式の近似解の誤差評価に関する研究を行なった。この研究はオイラー・丸山近似、クランク・ニコルソン近似、ウォン・ザカイ近似など多くの近似手法が提案され、それぞれの手法について詳細に研究がなされている。本研究では、ガウス過程の級数展開による近似過程を駆動過程とする確率常微分方程式から近似解を構成し、近似誤差の収束の早さや漸近挙動などを考察する。この手法はウォン・ザカイ近似に似た近似手法と言える。また、非整数ブラウン運動などのガウス過程を級数展開を利用して近似した場合の収束の様子はよく研究されており、収束の速さなどもよく知られている。本研究はこの研究の一般化と位置付けることができる。確率微分方程式の近似の研究においてはラフパス解析が有効に働くことが知られている。駆動過程の重複積分を考えることがラフパス解析の肝であるが、近似誤差の研究においてもそれが肝となる。実質的には、元の駆動過程の重複積分と近似した駆動過程の重複積分の誤差評価が近似解の誤差評価につながる。実際、重複積分の誤差評価が得られれば、その後の処理のある程度の部分は先行研究に頼ることができる。本研究ではガウス過程を複数の方法を使って級数展開し、それらの方法の間の共通点や相違点を明らかにすることが目標である。またそれらの手法の数値計算における有効性を理論的な側面からだけではなく、実践的な側面からも確認したい。

今年，我们研究了由高斯过程（例如非全能布朗运动）驱动的随机微分方程的近似解的错误评估。这项研究提出了许多近似方法，包括Euler-Maruyama近似，曲柄 - 尼古尔森近似和黄Zakai近似，并且已经详细研究了各自的方法。在这项研究中，近似解决方案是由随机正常微分方程构建的，该方程将高斯过程串联的过程近似过程作为驾驶过程，并考虑了近似误差和渐近行为的收敛速度。可以说这种方法是类似于Wong Zakai近似值的近似方法。此外，使用串联膨胀近似时，高斯过程（例如非全能布朗运动）的收敛性已经进行了充分的研究，并且收敛速度是众所周知的。这项研究可以定位为这项研究的概括。众所周知，粗糙路径分析在近似随机微分方程的研究中有效地工作。考虑驾驶过程的重叠整合是进行粗略通过分析的关键，但这对于研究近似错误也很重要。从本质上讲，原始驾驶过程重叠积分的错误评估以及近似驾驶过程的重叠集成，这是近似解决方案的错误评估。实际上，一旦获得了重叠积分的错误评估，随后的处理的某些部分可以依靠先前的研究。这项研究的目的是使用多种方法串联开发高斯过程，并阐明这些方法之间的共同点和差异。我们还想在数值计算中确认这些方法的有效性，不仅是从理论角度来看，而且还从实际方面来确认。

项目成果

Generalizations of the fourth moment theorem

四阶矩定理的推广

• DOI: 10.37190/0208-4147.00060
• 发表时间: 2022
• 期刊: Probability and Mathematical Statistics
• 作者: 川本昌紀;宮崎隼人;Kodai FUJIMOTO;宮崎隼人;藤本 皓大;宮崎隼人;Naganuma Nobuaki
• 通讯作者: Naganuma Nobuaki