Fourier解析的手法に基づいた確率微分方程式の近似理論の研究

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本年度は非整数ブラウン運動などのガウス過程を駆動過程とする確率微分方程式の近似解の誤差評価に関する研究を行なった。この研究はオイラー・丸山近似、クランク・ニコルソン近似、ウォン・ザカイ近似など多くの近似手法が提案され、それぞれの手法について詳細に研究がなされている。本研究では、ガウス過程の級数展開による近似過程を駆動過程とする確率常微分方程式から近似解を構成し、近似誤差の収束の早さや漸近挙動などを考察する。この手法はウォン・ザカイ近似に似た近似手法と言える。また、非整数ブラウン運動などのガウス過程を級数展開を利用して近似した場合の収束の様子はよく研究されており、収束の速さなどもよく知られている。本研究はこの研究の一般化と位置付けることができる。確率微分方程式の近似の研究においてはラフパス解析が有効に働くことが知られている。駆動過程の重複積分を考えることがラフパス解析の肝であるが、近似誤差の研究においてもそれが肝となる。実質的には、元の駆動過程の重複積分と近似した駆動過程の重複積分の誤差評価が近似解の誤差評価につながる。実際、重複積分の誤差評価が得られれば、その後の処理のある程度の部分は先行研究に頼ることができる。本研究ではガウス過程を複数の方法を使って級数展開し、それらの方法の間の共通点や相違点を明らかにすることが目標である。またそれらの手法の数値計算における有効性を理論的な側面からだけではなく、実践的な側面からも確認したい。