板波散乱解析に対するＧｒｅｅｎ函数を用いた境界積分方程式法の高速化について

本研究は板波の問題の高速多重極境界積分方程式法の開発と，その関連する問題への応用を目的として行った．本年度の成果を述べる．境界積分方程式は，考えている問題の固有値とは別の特定の周波数で非正則となり問題が解けなくなる，見かけの固有値と呼ばれる現象がある．昨年度の成果では，transmission問題の境界積分方程式であり実数の範囲では見かけの固有値を持たないMuellerやPMCHWT定式化も，複素数の範囲では，虚部が非常に小さく実軸に近い見かけの固有値を持つ場合があり，それらに近い実数周波数において解析精度が悪化することを明らかにしている．この問題は解析において深刻な問題となる．そこで本年度は，実軸に近い見かけの複素固有値が現れにくい積分方程式を考えることで，精度悪化問題への対策を行った．具体的には，単一積分方程式と呼ばれる境界積分方程式をHelmholtz方程式の場合について取り上げ考察した．これは以下の理由である．単一積分方程式の見かけの固有値は，外部Dirichlet問題か内部インピーダンス問題の固有値となる．このうち後者の固有値は重み係数を調整し制御し，実軸から引き離すことができる．また，単一積分方程式は第2種Fredholm方程式となり，GMRESにおいて少ない反復回数で解に収束することが期待される．これらの性質は実際に数値計算により確認でき，単一積分方程式はMuellerやPMCHWT定式化よりも，見かけの固有値が実軸から離れており，実数周波数における精度悪化を回避できることが分かった．また，GMRESにおいて少ない反復回数・時間で解に収束することも確かめられた．上述の成果は計算数理工学論文集において発表し講演賞を受賞している．また，昨年度までの成果をまとめた論文がSIAM J. Appl. Math.において受理され，出版が決定している．

本研究は板波の問題の高速多重極境界積分方程式法の開発と，その関連する問題への応用を目的として行った．本年度の成果を述べる．境界積分方程式は，考えている問題の固有値とは別の特定の周波数で非正則となり問題が解けなくなる，見かけの固有値と呼ばれる現象がある．昨年度の成果では，transmission問題の境界積分方程式であり実数の範囲では見かけの固有値を持たないMuellerやPMCHWT定式化も，複素数の範囲では，虚部が非常に小さく実軸に近い見かけの固有値を持つ場合があり，それらに近い実数周波数において解析精度が悪化することを明らかにしている．この問題は解析において深刻な問題となる．そこで本年度は，実軸に近い見かけの複素固有値が現れにくい積分方程式を考えることで，精度悪化問題への対策を行った．具体的には，単一積分方程式と呼ばれる境界積分方程式をHelmholtz方程式の場合について取り上げ考察した．これは以下の理由である．単一積分方程式の見かけの固有値は，外部Dirichlet問題か内部インピーダンス問題の固有値となる．このうち後者の固有値は重み係数を調整し制御し，実軸から引き離すことができる．また，単一積分方程式は第2種Fredholm方程式となり，GMRESにおいて少ない反復回数で解に収束することが期待される．これらの性質は実際に数値計算により確認でき，単一積分方程式はMuellerやPMCHWT定式化よりも，見かけの固有値が実軸から離れており，実数周波数における精度悪化を回避できることが分かった．また，GMRESにおいて少ない反復回数・時間で解に収束することも確かめられた．上述の成果は計算数理工学論文集において発表し講演賞を受賞している．また，昨年度までの成果をまとめた論文がSIAM J. Appl. Math.において受理され，出版が決定している．