行列因子化の理論を応用した多様体の導来圏の研究

採用最終年度では、当該研究課題の研究対象である行列因子化の圏の一般化である導来行列因子化圏について研究し、特に導来行列因子化圏が持つ自然なテンソル構造について研究した。導来行列因子化圏はランダウ・ギンツブルグ模型と呼ばれる、スキームXとその上の直線束LとLの大域切断Wからなるデータ(X,L,W)に対し定まる三角圏で、DMF(X,L,W)と表される。導来因子化圏DMF(X,L,W)はスキームX上の完全複体のなす三角圏Perf(X)の類似とみなせ、Perf(X)と同様に、DMF(X,L,W)上に自然なテンソル構造が定まる。当該年度の主結果では、ある条件を持つランダウ・ギンツブルグ模型(X,L,W)に対し、DMF(X,L,W)上の自然なテンソル構造から定まるBalmerスペクトラムと呼ばれる位相空間Spec(DMF(X,L,W))が、WのゼロスキームZのX内での相対的特異点領域Sing(Z/X)と位相同型であることを証明した。ここで、相対的特異点領域というのは、本研究で私が導入した概念で、任意のネータースキームの間の閉埋め込みに対して定義される位相空間である。また、主結果を証明する過程で、DMF(X,L,W)のある種の部分三角圏の分類を行った。その分類の結果はThomasonのPerf(X)のある種の部分三角圏の分類の結果のアナロジーであり、StevensonによるZの特異点の三角圏の部分三角圏の分類やTakahashiによる局所超曲面上のコーエン・マッコーレー加群のなす安定圏の部分三角圏の分類の結果の一般化にも成っている。さらに、主結果の系として、Sing(Z/X)がいつZの閉集合になるかの必要十分条件をDMF(X,L,W)のある種の生成対象の存在により特徴づけた。

採用最終年度では、当該研究課題の研究対象である行列因子化の圏の一般化である導来行列因子化圏について研究し、特に導来行列因子化圏が持つ自然なテンソル構造について研究した。導来行列因子化圏はランダウ・ギンツブルグ模型と呼ばれる、スキームXとその上の直線束LとLの大域切断Wからなるデータ(X,L,W)に対し定まる三角圏で、DMF(X,L,W)と表される。導来因子化圏DMF(X,L,W)はスキームX上の完全複体のなす三角圏Perf(X)の類似とみなせ、Perf(X)と同様に、DMF(X,L,W)上に自然なテンソル構造が定まる。当該年度の主結果では、ある条件を持つランダウ・ギンツブルグ模型(X,L,W)に対し、DMF(X,L,W)上の自然なテンソル構造から定まるBalmerスペクトラムと呼ばれる位相空間Spec(DMF(X,L,W))が、WのゼロスキームZのX内での相対的特異点領域Sing(Z/X)と位相同型であることを証明した。ここで、相対的特異点領域というのは、本研究で私が導入した概念で、任意のネータースキームの間の閉埋め込みに対して定義される位相空間である。また、主結果を証明する過程で、DMF(X,L,W)のある種の部分三角圏の分類を行った。その分類の結果はThomasonのPerf(X)のある種の部分三角圏の分類の結果のアナロジーであり、StevensonによるZの特異点の三角圏の部分三角圏の分類やTakahashiによる局所超曲面上のコーエン・マッコーレー加群のなす安定圏の部分三角圏の分類の結果の一般化にも成っている。さらに、主結果の系として、Sing(Z/X)がいつZの閉集合になるかの必要十分条件をDMF(X,L,W)のある種の生成対象の存在により特徴づけた。