３次元双曲多様体の体積に関する研究

3次元双曲多様体に含まれる本質的曲面について考察した。3次元双曲多様体を研究するうえで本質的曲面を考えることは、古典的でありながら現在も重要な方法である。例えば体積との関連では、3次元双曲多様体を本質的曲面で切り離した後の位相的性質から元の双曲多様体の体積を下から評価できるという結果がAgol-Storm-Thurstonにより知られている。この結果を使って、カスプを4つもつ最小体積の3次元双曲多様体を研究代表者が以前決定した。今年度は、3次元双曲多様体が、補集合が連結になるようなn個の交わらない本質的曲面を含む場合について考察した。この条件は基本群から階数nの自由群への全射があることと同値である。とくに n=2 の場合、カスプを4つもつ最小体積の3次元双曲多様体を含むいくつかが、そのような 3 次元双曲多様体の体積の最小値を与えると予想している。また、3次元双曲多様体の本質的な3点穴あき球面は全測地的なものとイソトピックであることが知られている。全測地的な3点穴あき球面で切り離して貼り合わせることにより体積が等しい複数の3次元双曲多様体がえられるなど、扱いやすい例を与える点で3点穴あき球面は重要である。そこで研究代表者は、3次元双曲多様体に含まれる、全測地的な3点穴あき球面の和集合の連結成分の位相型を分類した。この際、カスプの個数に関して体積が最小であると予想されている3次元双曲多様体が特殊な例として現れることを観察した。

3次元双曲多様体に含まれる本質的曲面について考察した。3次元双曲多様体を研究するうえで本質的曲面を考えることは、古典的でありながら現在も重要な方法である。例えば体積との関連では、3次元双曲多様体を本質的曲面で切り離した後の位相的性質から元の双曲多様体の体積を下から評価できるという結果がAgol-Storm-Thurstonにより知られている。この結果を使って、カスプを4つもつ最小体積の3次元双曲多様体を研究代表者が以前決定した。今年度は、3次元双曲多様体が、補集合が連結になるようなn個の交わらない本質的曲面を含む場合について考察した。この条件は基本群から階数nの自由群への全射があることと同値である。とくに n=2 の場合、カスプを4つもつ最小体積の3次元双曲多様体を含むいくつかが、そのような 3 次元双曲多様体の体積の最小値を与えると予想している。また、3次元双曲多様体の本質的な3点穴あき球面は全測地的なものとイソトピックであることが知られている。全測地的な3点穴あき球面で切り離して貼り合わせることにより体積が等しい複数の3次元双曲多様体がえられるなど、扱いやすい例を与える点で3点穴あき球面は重要である。そこで研究代表者は、3次元双曲多様体に含まれる、全測地的な3点穴あき球面の和集合の連結成分の位相型を分類した。この際、カスプの個数に関して体積が最小であると予想されている3次元双曲多様体が特殊な例として現れることを観察した。