Deformation of hyperbolic structures and geometry of non-discrete representations

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有限体積3次元双曲多様体にはモストフ剛性があり、位相から等長類が決まる。しかし、完備でない構造によって変形できる場合がある。本研究では、完備でない双曲構造の変形に基づいて、3次元多様体の基本群の表現空間を幾何学的に考察している。錐多様体の連続変形による双曲的デーン手術の実現が代表的な例であるが、さらなる一般化を目指す。3次元双曲錐多様体の大域的な剛性は錐角がπ以下の場合に知られていて、このことは錐角を0まで減少させる変形が存在することにより証明される。本研究では、錐角がπと2πの間にある場合に、錐角が減少するにも関わらず退化する例をトーラス上の絡み目から得た。双曲錐構造はある多面体の貼り合わせによって具体的に構成でき、その双曲的な多面体の等長類を決定することに帰着できる。この場合の退化は特異集合が交差することによって起こる。 そこで、変形の際の特異集合の交差を回避するために、錐構造の一般化となる穴あき錐構造を定義した。上記の例に対しては、2πより小さい任意の錐角を実現できるようになる。基本群の表現を幾何学的に表すことができる範囲が増えるので、錐構造の大域的な剛性を考察する上でも役立つと考えられる。一般論として、穴あき錐構造のホロノミー表現を錐構造と同様に定義することができ、既約なホロノミー表現の変形に対応して穴あき錐構造を変形させることができることを示した。また、同じ表現に対応する穴あき錐構造がどのくらいあるかを記述することもできた。さらに、穴あき錐構造の体積を定義し、基本群のホロノミー表現から定まる体積と一致することを示した。本年度は、錐角減少変形での退化の例についての論文を出版し、穴あき錐構造についての結果をプレプリントとして公表した。