高余次元の平均曲率流と特異点

余次元の高い部分多様体が平均曲率流の下でどのように振舞うかを調べるため平成２７年度（採用1年度目）は高余次元の平均曲率流の特異点の研究を行った。研究成果：トランスレーティングソリトンは，平均曲率流のII型特異点のモデルとなっており，特にその幾何学的特徴を調べることは重要である。しかし，余次元が高い場合の研究はこれまでほとんどなされてこなかった。そこでまずは一般余次元のトランスレーティングソリトンに関する非存在定理を示した。また一般に，II型特異点のモデルとしてはトランスレーティングソリトンよりも広いクラスとして永久解がある。調和写像に関する熱流の方法を利用することにより，永久解に関する非存在定理も示した。この方法をさらに応用し，ラグランジュ永久解に関しても非存在を示した。これらの非存在定理により，II型特異点の形状としてはありえないものを排除することができた。一方，非存在とは逆に，一般余次元のトランスレーティングソリトンの具体例の構成も行った。それまで一般余次元のトランスレーティングソリトンの例はほとんど知られていなかったため，イメージが掴みづらいものであった。この具体例の構成は，対称性の高い簡単な場合ではあるが，一般余次元のトランスレーティングソリトンの形状を把握する手がかりを与えている。さらに，ある曲率の条件下において，一般余次元のトランスレーティングソリトンの特徴づけを与える分裂定理を得た。本年度の研究により余次元の高い平均曲率流のII型特異点の形状に関してはその特徴をかなり把握することができた。しかし，II型特異点そのものの形状を把握することと，実際の平均曲率流の下でのII型特異点の発生メカニズムを知ることの間には未だにギャップがある。今後はII型特異点の形状の特徴を，もとの平均曲率流の情報と結びつける研究が必要になると考えられる。

余次元の高い部分多様体が平均曲率流の下でどのように振舞うかを調べるため平成２７年度（採用1年度目）は高余次元の平均曲率流の特異点の研究を行った。研究成果：トランスレーティングソリトンは，平均曲率流のII型特異点のモデルとなっており，特にその幾何学的特徴を調べることは重要である。しかし，余次元が高い場合の研究はこれまでほとんどなされてこなかった。そこでまずは一般余次元のトランスレーティングソリトンに関する非存在定理を示した。また一般に，II型特異点のモデルとしてはトランスレーティングソリトンよりも広いクラスとして永久解がある。調和写像に関する熱流の方法を利用することにより，永久解に関する非存在定理も示した。この方法をさらに応用し，ラグランジュ永久解に関しても非存在を示した。これらの非存在定理により，II型特異点の形状としてはありえないものを排除することができた。一方，非存在とは逆に，一般余次元のトランスレーティングソリトンの具体例の構成も行った。それまで一般余次元のトランスレーティングソリトンの例はほとんど知られていなかったため，イメージが掴みづらいものであった。この具体例の構成は，対称性の高い簡単な場合ではあるが，一般余次元のトランスレーティングソリトンの形状を把握する手がかりを与えている。さらに，ある曲率の条件下において，一般余次元のトランスレーティングソリトンの特徴づけを与える分裂定理を得た。本年度の研究により余次元の高い平均曲率流のII型特異点の形状に関してはその特徴をかなり把握することができた。しかし，II型特異点そのものの形状を把握することと，実際の平均曲率流の下でのII型特異点の発生メカニズムを知ることの間には未だにギャップがある。今後はII型特異点の形状の特徴を，もとの平均曲率流の情報と結びつける研究が必要になると考えられる。