複素射影平面上の直線配置と絡み目のミルナー不変量の研究

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本研究では，絡み目の不変量のアイデアを複素射影平面CP2内の直線配置の研究に応用して，直線配置の位相型を区別する新たな不変量を発見する事を目的とする．本年度は，主に次に上げる研究成果が得られた．これらの成果は，絡み目の不変量を応用した不変量を用いる事で得られた．（１）実射影変面内の直線配置に関して，図形的に計算可能な絡み数の構成に成功した．これまでの，絡み数は，その計算をコンピューターに依存しなければならない複雑なものばかりであった．ここで構成した絡み数は，計算が簡易であるというばかりでなく，これまで３例しか知られていなかったザリスキー対に加えて，新たに１０例のザリスキー対の構成に成功した．さらに，この結果は，今まで知られていなかった有理ザリスキー対の初めての例でもある．（２）直線配置の絡み数の研究を進め，k-アルタル曲線（k ∈ {3, 4, 5, 6}）に対してザリスキー対の存在を示した．（直線配置の研究においては，ザリスキー対と呼ばれる直線配置対の発見は，大変重要である．）（３）上で用いた絡み数は，Shimada k-pletと呼ばれる直線配置を区別する事を示した．これらの２つの論文の結果を通して，絡み数が区別する直線配置の特徴が明らかになった．２つ目の結果を得る為に，これまでの絡み数を，代数的・幾何的に再構築し，代数的な計算方法を備えた分離数と関連付けた．（４）基本群は，直線配置の組合せ的構造では，定まらない事を示した．これは，Falk氏とRandell氏の挙げた問題の解答を与えた事になる．また，ここで用いた証明は，Suciu氏の挙げた問題に否定的解答を与えた．