非線形分散型波動方程式の解のダイナミクスに対する理論の構築

昨年度に非線形分散型波動方程式の解の大域ダイナミクスを明らかにする観点から、池田正弘氏とディラックのデルタ関数をポテンシャルにもつ非線形シュレディンガー方程式に対して解の大域挙動の分類を行った。この研究で用いた、解に対称性を仮定することで分類領域を広げるという手法は、分散型波動方程式の大域挙動ダイナミクスにおいては新しい手法で、様々な方程式に対して応用可能であると思われた。そこで本年度は、この手法を質量超臨界かつエネルギー劣臨界なべき乗型非線形項を持つ非線形シュレディンガー方程式に応用した。それにより、解に対称性を仮定することで非線形シュレディンガー方程式の解の大域挙動について今まで知られていた結果よりも広い範囲において分類を行うことができた。更に、べき乗型の非線形項ではなく微分が入った非線形項を持つシュレディンガー方程式についての大域挙動の研究にも取り組んだ。この微分型非線形シュレディンガー方程式はべき乗型非線形シュレディンガー方程式よりも解析が困難で、大域ダイナミクスまで明らかにすることは出来なかった。しかし、林雅行氏と深谷法良氏との共同研究により、大域ダイナミクスを明らかにする前の第 1 ステップとして、大域解が存在するための十分条件を与えることができた。3 次の微分型非線形項を持つシュレディンガー方程式に対してはYifei Wu氏により大域解の十分条件が与えられていた。我々は、Wu氏の用いた手法とは異なり、進行波解の変分的特徴づけを与えることで大域解になるための十分条件を与えた。これによりWu氏の結果を真に含む形での十分条件を与えることができた。更に我々はより一般的な p 次の微分型非線形項を持つシュレディンガー方程式に対しても大域解となるための十分条件を与えた。

昨年度に非線形分散型波動方程式の解の大域ダイナミクスを明らかにする観点から、池田正弘氏とディラックのデルタ関数をポテンシャルにもつ非線形シュレディンガー方程式に対して解の大域挙動の分類を行った。この研究で用いた、解に対称性を仮定することで分類領域を広げるという手法は、分散型波動方程式の大域挙動ダイナミクスにおいては新しい手法で、様々な方程式に対して応用可能であると思われた。そこで本年度は、この手法を質量超臨界かつエネルギー劣臨界なべき乗型非線形項を持つ非線形シュレディンガー方程式に応用した。それにより、解に対称性を仮定することで非線形シュレディンガー方程式の解の大域挙動について今まで知られていた結果よりも広い範囲において分類を行うことができた。更に、べき乗型の非線形項ではなく微分が入った非線形項を持つシュレディンガー方程式についての大域挙動の研究にも取り組んだ。この微分型非線形シュレディンガー方程式はべき乗型非線形シュレディンガー方程式よりも解析が困難で、大域ダイナミクスまで明らかにすることは出来なかった。しかし、林雅行氏と深谷法良氏との共同研究により、大域ダイナミクスを明らかにする前の第 1 ステップとして、大域解が存在するための十分条件を与えることができた。3 次の微分型非線形項を持つシュレディンガー方程式に対してはYifei Wu氏により大域解の十分条件が与えられていた。我々は、Wu氏の用いた手法とは異なり、進行波解の変分的特徴づけを与えることで大域解になるための十分条件を与えた。これによりWu氏の結果を真に含む形での十分条件を与えることができた。更に我々はより一般的な p 次の微分型非線形項を持つシュレディンガー方程式に対しても大域解となるための十分条件を与えた。