大沢－竹腰型拡張定理の改良と特異エルミート計量の拡張問題

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本年度は、大沢-竹腰のL^2拡張定理と呼ばれる定理の改良を目指して研究を行った。大沢-竹腰のL^2拡張定理は、複素多様体の部分多様体上のL^2正則関数を、全体の多様体上のL^2正則関数に、L^2ノルムの評価付きで拡張する定理である。この定理は大沢-竹腰によって証明されて以来、多変数関数論や複素幾何・代数幾何といった、数学における広範な分野で使われている。近年、評価を改良したバージョンである「最良係数のL^2拡張定理」がBlocki, Guan-Zhouにより示された。また、L^2正則関数のなす空間の変動理論に基づく、Berndtsson-Lempertによる新証明も知られている。これらの進展を背景とし、本年度は以下のような研究を行った。(1) L^2拡張定理の一般化のひとつに、ジェットに対するL^2拡張定理が挙げられる。これは、部分多様体上での微分係数を指定する形の拡張定理である。私は、Berndtsson-Lempertの手法を応用して、Demaillyによる定式化のもとでジェットに対するL^2拡張定理を最良係数に改良した。(2) 最良係数のL^2拡張定理は、ウェイト関数と呼ばれる補助の関数によらないような評価である。定数をウェイト関数に応じて変化させることにより、さらに良い評価を得ることが可能と考えられる。このようなより良い評価が適切な条件の下で実現できることを、Hartogs領域の方法を用いることにより示した。