通常代数多様体を一般ファイバーに持つファイバー空間の研究

相対標準因子や相対反標準因子は代数的ファイバー空間の性質を調べる上で重要な役割を果たす。今年度は相対反標準因子の正値性について考察した。これまでの研究により、相対反標準因子がネフかつ巨大であるのは底空間が０次元のときに限ることが示されている。この命題から巨大性の仮定を外して一般化することを試みた。結果として、相対反標準因子にネフ性を仮定したとき、その切断環は自然な射によって一般ファイバーの反標準環に埋め込まれることを証明した。特に、相対反標準因子の飯高-小平次元は一般ファイバーの反標準因子が持つ飯高-小平次元によって上から抑えられる。この定理はある種の不確定点を持つ有理写像に対しても証明された。それを用いて、ネフな反標準因子を持つ滑らかな射影多様体の極大有理連結ファイブレーションについて調べた。Hacon-McKernanによって反標準因子がネフかつ巨大ならばその多様体は有理連結、すなわち極大有理連結ファイブレーションの像が0次元であることが示されている。これを一般化し、滑らかな複素射影多様体の反標準因子がネフならば、その飯高-小平次元は極大有理連結ファイブレーションの一般ファイバーが持つ次元によって上から抑えられることを証明した。この結果はHacon-McKernanの問いに対する解答である。また今年度は正標数の代数的ファイバー空間であって一般ファイバーがF純でないものについても扱い、弱正値性定理や飯高予想を研究した。結果として、弱正値性定理が成り立つための新しい十分条件を得た。

相対標準因子や相対反標準因子は代数的ファイバー空間の性質を調べる上で重要な役割を果たす。今年度は相対反標準因子の正値性について考察した。これまでの研究により、相対反標準因子がネフかつ巨大であるのは底空間が０次元のときに限ることが示されている。この命題から巨大性の仮定を外して一般化することを試みた。結果として、相対反標準因子にネフ性を仮定したとき、その切断環は自然な射によって一般ファイバーの反標準環に埋め込まれることを証明した。特に、相対反標準因子の飯高-小平次元は一般ファイバーの反標準因子が持つ飯高-小平次元によって上から抑えられる。この定理はある種の不確定点を持つ有理写像に対しても証明された。それを用いて、ネフな反標準因子を持つ滑らかな射影多様体の極大有理連結ファイブレーションについて調べた。Hacon-McKernanによって反標準因子がネフかつ巨大ならばその多様体は有理連結、すなわち極大有理連結ファイブレーションの像が0次元であることが示されている。これを一般化し、滑らかな複素射影多様体の反標準因子がネフならば、その飯高-小平次元は極大有理連結ファイブレーションの一般ファイバーが持つ次元によって上から抑えられることを証明した。この結果はHacon-McKernanの問いに対する解答である。また今年度は正標数の代数的ファイバー空間であって一般ファイバーがF純でないものについても扱い、弱正値性定理や飯高予想を研究した。結果として、弱正値性定理が成り立つための新しい十分条件を得た。