正標数の代数的ファイバー空間に関する研究

本年度は正標数の代数的ファイバー空間について正値性定理や飯高予想を中心に研究を進めた．特に注力したことは弱正値性定理の新しい反例の構成である．弱正値性定理には既に反例が2種類知られており，一方では幾何学的生成ファイバーに悪い特異点が存在し，もう一方では相対多重標準束について弱正値性定理が成立する．すなわち，幾何学的生成ファイバーが良い特異点のみを持つ場合には，相対多重標準束に関する主張には反例が存在するかどうか知られていないのである．前年度までの研究では幾何学的生成ファイバーがF純特異点のみを持つ場合に弱正値性定理を証明することに挑んできたが，本年度は逆に，幾何学的生成ファイバーがF純特異点のみを持つ場合に弱正値性定理が(相対多重標準束について込みで)成り立たない例の構成を試みた．これにはRaynaudの構成法が適用できるのではないかと考えた．彼は曲線のモジュライを用いた方法で，全空間が曲面で底空間が曲線であるような代数的ファイバー空間であって，相対標準層の順像層がネフでないような例を構成した．各ファイバーが半安定な曲線であるという性質の良い代数的ファイバー空間であるにもかかわらず，正値性定理が成り立たないという点もこの例の特徴の一つである．Raynaudの構成を応用して目的の代数的ファイバー空間を構成しようと考えていたが，現段階では十分な結果が得られていないため，別の手法を取り入れることを視野に入れながら本研究を継続していく．

本年度は正標数の代数的ファイバー空間について正値性定理や飯高予想を中心に研究を進めた．特に注力したことは弱正値性定理の新しい反例の構成である．弱正値性定理には既に反例が2種類知られており，一方では幾何学的生成ファイバーに悪い特異点が存在し，もう一方では相対多重標準束について弱正値性定理が成立する．すなわち，幾何学的生成ファイバーが良い特異点のみを持つ場合には，相対多重標準束に関する主張には反例が存在するかどうか知られていないのである．前年度までの研究では幾何学的生成ファイバーがF純特異点のみを持つ場合に弱正値性定理を証明することに挑んできたが，本年度は逆に，幾何学的生成ファイバーがF純特異点のみを持つ場合に弱正値性定理が(相対多重標準束について込みで)成り立たない例の構成を試みた．これにはRaynaudの構成法が適用できるのではないかと考えた．彼は曲線のモジュライを用いた方法で，全空間が曲面で底空間が曲線であるような代数的ファイバー空間であって，相対標準層の順像層がネフでないような例を構成した．各ファイバーが半安定な曲線であるという性質の良い代数的ファイバー空間であるにもかかわらず，正値性定理が成り立たないという点もこの例の特徴の一つである．Raynaudの構成を応用して目的の代数的ファイバー空間を構成しようと考えていたが，現段階では十分な結果が得られていないため，別の手法を取り入れることを視野に入れながら本研究を継続していく．