量子座標環を用いた量子包絡環の構造、表現の研究

点击翻译按钮获取中文摘要

本年度は捻り写像(twist map)と呼ばれる冪単部分群, 冪単胞体の座標環の同型写像の量子類似, およびそれらと双対標準基底との関連を研究した. 冪単部分群, 冪単胞体とは半単純代数群のある部分代数多様体であり, これらの座標環は量子類似を持つことが知られている. 双対標準基底とはこれらの量子座標環における特別な基底であり, 圏化を通じて量子座標環以外の数学的対象の〝構造″も反映する対象として研究されてきた.本年度は, 量子でない場合に非自明な代数写像として知られていた捻り写像を双対標準基底の積構造をより詳しく調べる道具とすることを目標とし, 量子類似の視点から考察した. 以下が主な成果である:(1)冪単部分群の捻り写像のLenagan-Yakimovが導入した量子類似が, 双対標準基底の全単射を導くことを証明. (2)一般の冪単胞体における捻り写像の量子類似を構成. また, それが双対標準基底, 量子団代数構造における量子団単項式を保つことを証明. (3)(2)で構成した量子捻り写像を用いて量子Chamber Ansatz公式を導出.なお(1), (2)は木村嘉之氏との共同研究である. (2)の量子捻り写像はBerenstein-Rupelによって特別な場合には既に構成されていたが, それを一般の場合に別の方法で構成することができた.さらに藤田直樹氏と共同でSchubert多様体のNewton-Okounkov凸体について研究を行った. Schubert多様体のNewton-Okounkov凸体はその非常に豊富な直線束と, 関数体の付値を与えることにより定まる凸体で, 代数的, 幾何的情報を持っている. 本研究ではある2種類の異なる付値から定められるNewton-Okounkov凸体が本質的に同じものであり, 具体的なアフィン変換で移りあうことを証明した.