界面ダイナミクスに対する幾何解析的手法による考察

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界面ダイナミクスを記述するモデルの一つとして，平均曲率流（曲面の発展方程式の一つ）が知られている．本研究では，９０度の接触角条件付きの平均曲率流を考察対象とし，解析を行った．その平均曲率流は，ある固定された曲面と９０度の接触角を生成しつつ動く曲面を記述しており，固定された曲面の凸・非凸の条件により，動く曲面の挙動の様子が変わる．特に固定された曲面が非凸の時，二つの曲面が衝突し特異性が現れることが予想され，その特異性を解析するためには，より抽象的に解を記述する弱解を扱うことが有効的であることが期待される．本研究では，弱解の一つである，９０度の接触角条件付きのBrakke flowに焦点を当てたものである．Brakke flowの近似理論の一つとして，Allen-Cahn方程式が用いられてきた．この近似理論により，Allen-Cahn方程式を用いた，平均曲率流やBrakke flowの挙動の数値シミュレーションの精度が保証されている．そのため，上記の近似理論は，数学的な解析手法の開拓だけではなく，応用面から見ても重要な理論だと考えられる．本研究では，非凸領域上における，線形Neumann境界条件を課したAllen-Cahn方程式に対する特異極限として，９０度の接触角条件付きのBrakke flowが得られることを示し，近似理論を完成させている．本研究によるBrakke flowへの収束性理論は，数値シミュレーションへの応用の他に，Allen-Cahn方程式に対する比較原理を応用させたBrakke flowの挙動の解析にも繋がることが期待される．