不連続係数を持つ確率微分方程式における数値計算方法に関する研究

研究目的：本研究の目的は、不連続係数(非滑らかな場合も含む)を持つ確率微分方程式における数値計算方法についての研究である。特にオイラー・丸山近似の収束の誤差評価に焦点を絞り研究を行った。当初の計画：Parametrix methodを用いた密度関数の具体的な表現を用いることで、不連続拡散係数を持つオイラー・丸山近似の密度関数に対してガウス型評価が成り立つことを証明し、誤差評価に応用することを目指していた。研究方法：1.ドリフト係数の非滑らかさについて。１次元の場合の確率微分方程式はscale関数とspeed measureを用いることにより、解の存在と一意性の必要十分条件が知られており、特にscale関数の性質を応用することで確率微分方程式のドリフト係数の問題点を解消し、誤差評価に応用した。多次元の場合は、類似の手法であるZvonkin変換と呼ばれる偏微分方程式を用いた変換公式を用いて問題点を解消した。2.拡散係数の不連続性について。当初の考えていた密度関数のガウス型評価の証明を得ることができなかったので、別の方法としてオイラー・丸山近似のtightnessと局所時間に関する評価式を導入することで、問題点を解消し誤差評価に応用した。研究結果：1.１次元の場合に関して、ドリフト係数が有界変動関数とヘルダー連続関数の和、拡散係数がヘルダー連続の場合に関して、オイラー・丸山近似が解に収束する誤差評価を精密に行った。2.1次元の確率微分方程式に関して、拡散係数が一様楕円・二次変動有界の場合に、オイラー・丸山近似の収束に関して、1.で得られた結果と同様の評価が得られた。3.ドリフト係数がヘルダー連続、拡散係数が定数の場合に限定し、多次元の確率微分方程式（jump型も含む）にまで拡張を行った。特に、オイラー・丸山近似の収束誤差がドリフト係数のヘルダー連続性にのみ依存することを証明した。

研究目的：本研究の目的は、不連続係数(非滑らかな場合も含む)を持つ確率微分方程式における数値計算方法についての研究である。特にオイラー・丸山近似の収束の誤差評価に焦点を絞り研究を行った。当初の計画：Parametrix methodを用いた密度関数の具体的な表現を用いることで、不連続拡散係数を持つオイラー・丸山近似の密度関数に対してガウス型評価が成り立つことを証明し、誤差評価に応用することを目指していた。研究方法：1.ドリフト係数の非滑らかさについて。１次元の場合の確率微分方程式はscale関数とspeed measureを用いることにより、解の存在と一意性の必要十分条件が知られており、特にscale関数の性質を応用することで確率微分方程式のドリフト係数の問題点を解消し、誤差評価に応用した。多次元の場合は、類似の手法であるZvonkin変換と呼ばれる偏微分方程式を用いた変換公式を用いて問題点を解消した。2.拡散係数の不連続性について。当初の考えていた密度関数のガウス型評価の証明を得ることができなかったので、別の方法としてオイラー・丸山近似のtightnessと局所時間に関する評価式を導入することで、問題点を解消し誤差評価に応用した。研究結果：1.１次元の場合に関して、ドリフト係数が有界変動関数とヘルダー連続関数の和、拡散係数がヘルダー連続の場合に関して、オイラー・丸山近似が解に収束する誤差評価を精密に行った。2.1次元の確率微分方程式に関して、拡散係数が一様楕円・二次変動有界の場合に、オイラー・丸山近似の収束に関して、1.で得られた結果と同様の評価が得られた。3.ドリフト係数がヘルダー連続、拡散係数が定数の場合に限定し、多次元の確率微分方程式（jump型も含む）にまで拡張を行った。特に、オイラー・丸山近似の収束誤差がドリフト係数のヘルダー連続性にのみ依存することを証明した。