ファイバー曲面におけるスロープ不等式の研究

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今年度は主に2つの研究を行った。1つ目は、昨年度に引き続き、完全交叉な2次元特異点に対するダーフィー型不等式の研究を行った。今年度の前半は、昨年度までに得られたダーフィーの負値性予想に関する研究結果を論文にまとめて学術雑誌に投稿した。今年度の後半は、2次元特異点に対するダーフィー予想の高次元化である3次元以上の超曲面特異点に対するダーフィー型不等式の導出を目標として、一般ファイバーが超曲面であるファイバー多様体を考察した。そのようなファイバー多様体の簡単な具体例を構成し、その相対不変量を計算することで、ファイバー曲面のスロープ不等式の高次元版にあたる相対不変量の間の不等式を予想した。さらに、それをいくつかの仮定の下で証明した。超曲面の一般化である完全交叉の場合に関しても、いくつかの具体例を構成し、それらの不変量を計算した。2つ目は、堀口達也氏（大阪大学）、長岡高広氏（京都大学）、土谷昭善氏（東京大学）と共同でヘッセンバーグ多様体と呼ばれる旗多様体の中で特別な部分多様体に関する研究を行った。ワイル配置のイデアル部分配置に付随する対数的微分加群の生成系を求めることにより、正則冪零なヘッセンバーグ多様体のコホモロジー環の構造を（任意のリー型の場合に）完全に決定した。またその中で全ての部分ヘッセンバーグ多様体のコホモロジー類が一次独立であることを示した。この結果は現在論文にまとめている途中である。