非アルキメデス的力学系でのＪｕｌｉａ集合の性質

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ノルム付き体がアルキメデス的性質を持たない場合にそのノルムを非アルキメデス的ノルムと呼ぶ. 既存の（離散）力学系理論では実数や複素数またはその上の多様体で定義された写像の反復合成を考える. 非アルキメデス的力学系ではアルキメデス的性質の持つ体の代わりに非アルキメデス的性質の持つ体の上で定義された写像の反復合成を考える.非アルキメデス的力学系は最近の研究で実力学系や複素力学系などのアルキメデス的力学系理論とも密接な関係を持つことが知られているため, 報告者の研究の最終的な目標は非アルキメデス的力学系理論と複素力学系理論の関係を明らかにすることであるが, そのためには非アルキメデス的力学系理論をもっと詳しく調べる必要があった. したがって, 報告者はこの二年間の研究では非アルキメデス的力学系理論の発展そのものに興味を絞り, 非アルキメデス的力学系理論におけるジュリア集合上の力学系の安定性と固定点の定理の二つを研究してきた.複素力学系理論におけるジュリア集合上の力学系の安定性はMane-Sad-Sullivanの研究に動機つけられ, ジュリア集合上の力学系の安定性の持つ有理写像の特徴付けを求めることを目標にして, 拡大性の持つ写像は全てジュリア集合上の力学系の安定性を持つということと拡大性は持たないがジュリア集合上の力学系の安定性の持つ写像のクラスが存在することがわかった.もう一つの結果は非アルキメデス的力学系理論におけるジュリア集合と反発的固定点に関する未解決問題に動機つけられ, 新しい固定点定理を示し, ジュリア集合と固定点の関係を再証明し, さらに, 反発的固定点の存在を仮定した上でジュリア集合と反発的固定点の関係を再証明したことである. このことは複素力学系におけるFatouとJuliaの古典的結果の非アルキメデス的版であり, Hsiaの結果の再証明である.