群の表現に付随するゼータ関数と結び目理論への応用

３つのパラメータをもつ、3次組み紐群の表現が知られている。この表現は、組み紐群のreduced Burau表現βに対し、対称テンソル積表現を考え、そのq-変形によって得られる。しかし、4次以上の組み紐群の場合、3次の場合と同様の操作では3パラメータ付きの表現を構成することができない。本年度の研究では、このq-変形の操作をうまく調整し3次の場合も含めた統一的な変形方法を考案し、実際にこの操作で一般のn次組み紐群の3パラメータ付き表現（以降、この表現を簡単のためρと書くことにする）を構成することができた。続いて、トーラス型と呼ばれるタイプの組み紐について表現ρに付随するゼータ函数を計算した。トーラス型組み紐は何度か掛け合わせることで、組み紐群の中心元になることが知られている。この事実を利用し、先に定義した組み紐群の表現ρにおける中心元の像（スカラー）を具体的に求めることによって任意のトーラス型組み紐に関するゼータ函数の明示公式を得ることができた。さらに系として、トーラス型組み紐に関して表現ρのトレースを直接計算する方法と、ゼータ函数の明示公式から求める2通りの方法を比較することで、非自明なq-恒等式を示すことができた。最後に、自然数Nに関して表現ρのトレース母函数Zを定義した。この母函数ZはMacMahon Master Theoremを用いることでreduced Burau表現βに付随するゼータ函数のq-類似であることがわった。さらに、この母函数Zはトーラス型組み紐の場合、いくつかのパラメータを1にすることで具体的な形のq-seriesを得ることができる。また、母函数Zは別の極限によりAlexander多項式になることもわかった。こうして、結び目不変量とq-seriesなどの数論的な函数との関係を明らかにすることができた。

３つのパラメータをもつ、3次組み紐群の表現が知られている。この表現は、組み紐群のreduced Burau表現βに対し、対称テンソル積表現を考え、そのq-変形によって得られる。しかし、4次以上の組み紐群の場合、3次の場合と同様の操作では3パラメータ付きの表現を構成することができない。本年度の研究では、このq-変形の操作をうまく調整し3次の場合も含めた統一的な変形方法を考案し、実際にこの操作で一般のn次組み紐群の3パラメータ付き表現（以降、この表現を簡単のためρと書くことにする）を構成することができた。続いて、トーラス型と呼ばれるタイプの組み紐について表現ρに付随するゼータ函数を計算した。トーラス型組み紐は何度か掛け合わせることで、組み紐群の中心元になることが知られている。この事実を利用し、先に定義した組み紐群の表現ρにおける中心元の像（スカラー）を具体的に求めることによって任意のトーラス型組み紐に関するゼータ函数の明示公式を得ることができた。さらに系として、トーラス型組み紐に関して表現ρのトレースを直接計算する方法と、ゼータ函数の明示公式から求める2通りの方法を比較することで、非自明なq-恒等式を示すことができた。最後に、自然数Nに関して表現ρのトレース母函数Zを定義した。この母函数ZはMacMahon Master Theoremを用いることでreduced Burau表現βに付随するゼータ函数のq-類似であることがわった。さらに、この母函数Zはトーラス型組み紐の場合、いくつかのパラメータを1にすることで具体的な形のq-seriesを得ることができる。また、母函数Zは別の極限によりAlexander多項式になることもわかった。こうして、結び目不変量とq-seriesなどの数論的な函数との関係を明らかにすることができた。