群の表現に付随するゼータ関数と結び目理論への応用

与群表示相关的 Zeta 函数及其在结理论中的应用

• 批准号: 16J02301
• 负责人: 岡本 健太郎
• 金额: $ 0.83万
• 依托单位: Kyushu University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2016
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2016-04-22 至 2018-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-16J02301/
• 关键词: 組み紐群; ゼータ函数; Burau表現; q-類似; q-series; ゼータ関数; 力学系; 母関数

３つのパラメータをもつ、3次組み紐群の表現が知られている。この表現は、組み紐群のreduced Burau表現βに対し、対称テンソル積表現を考え、そのq-変形によって得られる。しかし、4次以上の組み紐群の場合、3次の場合と同様の操作では3パラメータ付きの表現を構成することができない。本年度の研究では、このq-変形の操作をうまく調整し3次の場合も含めた統一的な変形方法を考案し、実際にこの操作で一般のn次組み紐群の3パラメータ付き表現（以降、この表現を簡単のためρと書くことにする）を構成することができた。続いて、トーラス型と呼ばれるタイプの組み紐について表現ρに付随するゼータ函数を計算した。トーラス型組み紐は何度か掛け合わせることで、組み紐群の中心元になることが知られている。この事実を利用し、先に定義した組み紐群の表現ρにおける中心元の像（スカラー）を具体的に求めることによって任意のトーラス型組み紐に関するゼータ函数の明示公式を得ることができた。さらに系として、トーラス型組み紐に関して表現ρのトレースを直接計算する方法と、ゼータ函数の明示公式から求める2通りの方法を比較することで、非自明なq-恒等式を示すことができた。最後に、自然数Nに関して表現ρのトレース母函数Zを定義した。この母函数ZはMacMahon Master Theoremを用いることでreduced Burau表現βに付随するゼータ函数のq-類似であることがわった。さらに、この母函数Zはトーラス型組み紐の場合、いくつかのパラメータを1にすることで具体的な形のq-seriesを得ることができる。また、母函数Zは別の極限によりAlexander多項式になることもわかった。こうして、結び目不変量とq-seriesなどの数論的な函数との関係を明らかにすることができた。

３つのパラメータをもつ, 3rd group みNew Group のperformance が知られている.このexpressionは, 组み変群のreduced Burau performance βに対し, 対say テンソル品performance を考え, そのq-変shaped によって got られる.しかし, 4 or more times of group み group の occasion, 3 times of の occasion と様のoperation では 3パラメータpayきのexpressionを constitute することができない. This year's research is done, the operation of the q-shape is adjusted, the situation is adjusted 3 times, the situation is included in the unified method, and the operation is done General n times group み new group の3パラメータpayきperformance (hereinafter, このperformanceを简単のためρと书くことにする）を constitute することができた.続いて, トーラスTYPE とHUばれるタイプのgroup みNew について performance ρにFUSU するゼータ function をcalculation した.トーラス type group みNew はことが知られている.この事実をutilizationし、firstにDefinitionしたgroupみ新群のexpressionρにおけるcentral elementのimage（スカラー）をspecificにFind the explicit formula of the めることによって arbitrary のトーラス type group みNewに关するゼータ function をget ることができた. The さらに-type として, トーラス type group みに关して expression ρのトレースを directly calculates the する method と, ゼータ functionのExplicit formulaからfindingめる2通りのmethodをComparisonすることで, non-self-evidentなq-identity formulaすことができた. Finally, the natural number Nに关して expresses the ρのトレースgenerative function ZをDefinitionした.このgeneral function ZはMacMahon Master Theoremを uses いることでreduced Burau to express βにpays with するゼータfunctionのq-similar to であることがわった.さらに、このgeneral function Zはトーラス type group みNewの occasion, いくつかのパラメータを1にすることでspecificなshapedのq-seriesをgetることができる.また、Generate function Zはdifferent limit によりAlexander polynomial になることもわかった.こうして, knot び目不変quantity とq-series などのnumber theory's なfunction とのrelations を明らかにすることができた.

项目成果

組み紐のゼータ函数とq-series

编织 zeta 函数和 q 级数

• 发表时间: 2018
• 作者: Fujimoto Seiji;Ouchi Masami;Shibuya Takatoshi;Nagai Hiroshi;Seiji Fujimoto;藤本征史;岡本健太郎
• 通讯作者: 岡本健太郎

The braid zeta function and symbolic dynamical system

辫状zeta函数和符号动力系统

• 发表时间: 2016
• 作者: Fujimoto Seiji;Ouchi Masami;Shibuya Takatoshi;Nagai Hiroshi;Seiji Fujimoto;藤本征史;岡本健太郎;岡本健太郎;藤本征史;藤本征史;岡本健太郎;藤本征史;岡本健太郎;岡本健太郎;Fujimoto Seiji;岡本健太郎
• 通讯作者: 岡本健太郎

Braidのzeta函数とEulerの五角数定理

Braid 的 zeta 函数和欧拉五边形数定理

• 发表时间: 2017
• 作者: Fujimoto Seiji;Ouchi Masami;Shibuya Takatoshi;Nagai Hiroshi;Seiji Fujimoto;藤本征史;岡本健太郎;岡本健太郎;藤本征史;藤本征史;岡本健太郎
• 通讯作者: 岡本健太郎

組み紐のゼータ函数とあるq-恒等式について

关于编织线的zeta函数和一定的q-恒等式

• 发表时间: 2018
• 作者: Fujimoto Seiji;Ouchi Masami;Shibuya Takatoshi;Nagai Hiroshi;Seiji Fujimoto;藤本征史;岡本健太郎;岡本健太郎
• 通讯作者: 岡本健太郎

組み紐のゼータ函数とq-恒等式

编织 zeta 函数和 q 恒等式

• 发表时间: 2017
• 作者: Fujimoto Seiji;Ouchi Masami;Shibuya Takatoshi;Nagai Hiroshi;Seiji Fujimoto;藤本征史;岡本健太郎;岡本健太郎;藤本征史;藤本征史;岡本健太郎;藤本征史;岡本健太郎
• 通讯作者: 岡本健太郎