確率微分方程式モデルの逐次推定手法の考案およびその実装

最尤推定量や正則化推定量に代表されるM-推定量は、一般的に良い漸近的性質を持つことが知られている。その一方で、現時点からデータが一つ増える度に最適解の再計算を行うバッチ処理であるため、膨大な計算コストがかかる恐れがある。モデルの複雑化に伴いその数値計算的困難が顕著に表れるため、計算システムの発展によって多様で大量のデータが次々と高速に生成される現代においては、データ処理の側面で実用的な手法の考案とその理論構築が急務である。またそれは統計数学に期待する役割として、応用の現場にも強く求められている。このような背景に基づき、本研究課題は、大規模データ確率微分方程式（SDE）モデルの逐次推定量を構成し、その漸近挙動の導出と計算機上での実装を目的としている。採用第一年度目は、「高頻度観測における拡散パラメータの漸進推定」を考案した（Shimizu 2016, arXiv1506.08521）。これは、SDEモデルの拡散パラメータを、逐次推定的に推定する手法である。逐次推定とは、時々刻々と新たなデータが流入してくる度に推定値を微調整していく方法論であり、大規模なデータの効率的オンライン処理を可能にする。SDEモデルは株価の変動を表すモデルとして広く用いられているため、本研究の結果により、株価変動の分散構造を、最適化を行うM-推定よりも早く推定することが可能となった。また、正規型疑似対数尤度関数の最大点を解くことで得られるM-推定量との漸近同等性を確保することで、M-推定量と同様な漸近挙動を持つことが導かれた。実際に、数値実験を通して得られる各時点での推定値の時系列プロットから、漸進推定の推定精度を視覚的に確認することができた。また、SDEの正則化推定に関する成果も得られた。今後は、保険数理への実応用や計算機ソフトウェアへの実装を検討している。

最尤推定量や正則化推定量に代表されるM-推定量は、一般的に良い漸近的性質を持つことが知られている。その一方で、現時点からデータが一つ増える度に最適解の再計算を行うバッチ処理であるため、膨大な計算コストがかかる恐れがある。モデルの複雑化に伴いその数値計算的困難が顕著に表れるため、計算システムの発展によって多様で大量のデータが次々と高速に生成される現代においては、データ処理の側面で実用的な手法の考案とその理論構築が急務である。またそれは統計数学に期待する役割として、応用の現場にも強く求められている。このような背景に基づき、本研究課題は、大規模データ確率微分方程式（SDE）モデルの逐次推定量を構成し、その漸近挙動の導出と計算機上での実装を目的としている。採用第一年度目は、「高頻度観測における拡散パラメータの漸進推定」を考案した（Shimizu 2016, arXiv1506.08521）。これは、SDEモデルの拡散パラメータを、逐次推定的に推定する手法である。逐次推定とは、時々刻々と新たなデータが流入してくる度に推定値を微調整していく方法論であり、大規模なデータの効率的オンライン処理を可能にする。SDEモデルは株価の変動を表すモデルとして広く用いられているため、本研究の結果により、株価変動の分散構造を、最適化を行うM-推定よりも早く推定することが可能となった。また、正規型疑似対数尤度関数の最大点を解くことで得られるM-推定量との漸近同等性を確保することで、M-推定量と同様な漸近挙動を持つことが導かれた。実際に、数値実験を通して得られる各時点での推定値の時系列プロットから、漸進推定の推定精度を視覚的に確認することができた。また、SDEの正則化推定に関する成果も得られた。今後は、保険数理への実応用や計算機ソフトウェアへの実装を検討している。