諸数学分野の理論に基づく構造保存型数値解法の拡張

本年度は最終年度であったため，これまでの研究のブラッシュアップおよび取りまとめを行った．昨年度までに研究し，研究報告書において報告した「short pulse方程式に対する自己適合動的格子差分法」，「混合微分を含む発展方程式に対する数値解法」，「Modified Hunter--Saxton 方程式に対する構造保存差分法の収束解析」に関して，投稿していた論文が今年度に採択された．昨年度研究を開始し，研究報告書において報告した「微分代数方程式に対する離散勾配法」について，さらに研究を進めた上で論文を投稿した．また関連する内容に関して国内学会で発表した．この研究は，離散勾配法を微分代数方程式へ拡張したものである．離散勾配法とは，常微分方程式が保存量 (時間とともに変わらない量) あるいは散逸量 (時間とともに減少する量) をもつ場合に，これらの性質を継承した数値解法を構成する代表的な手法である．離散勾配法の枠組は常微分方程式に対しては非常によく整理されており，原理的には全ての保存/散逸量をもつ常微分方程式に対して適用できることが知られている．同様の手法は，個別の微分代数方程式 (常微分方程式の一種の拡張であり，拘束条件をもつ) に対しても適用されてきたが，枠組としては全く整備されていなかった．昨年度は，微分代数方程式における保存/散逸量の議論を整備したが，今年度は，指数1という比較的扱いやすい微分代数方程式に限定するものの，保存/散逸量を継承した離散化手法を構成した．

本年度は最終年度であったため，これまでの研究のブラッシュアップおよび取りまとめを行った．昨年度までに研究し，研究報告書において報告した「short pulse方程式に対する自己適合動的格子差分法」，「混合微分を含む発展方程式に対する数値解法」，「Modified Hunter--Saxton 方程式に対する構造保存差分法の収束解析」に関して，投稿していた論文が今年度に採択された．昨年度研究を開始し，研究報告書において報告した「微分代数方程式に対する離散勾配法」について，さらに研究を進めた上で論文を投稿した．また関連する内容に関して国内学会で発表した．この研究は，離散勾配法を微分代数方程式へ拡張したものである．離散勾配法とは，常微分方程式が保存量 (時間とともに変わらない量) あるいは散逸量 (時間とともに減少する量) をもつ場合に，これらの性質を継承した数値解法を構成する代表的な手法である．離散勾配法の枠組は常微分方程式に対しては非常によく整理されており，原理的には全ての保存/散逸量をもつ常微分方程式に対して適用できることが知られている．同様の手法は，個別の微分代数方程式 (常微分方程式の一種の拡張であり，拘束条件をもつ) に対しても適用されてきたが，枠組としては全く整備されていなかった．昨年度は，微分代数方程式における保存/散逸量の議論を整備したが，今年度は，指数1という比較的扱いやすい微分代数方程式に限定するものの，保存/散逸量を継承した離散化手法を構成した．