グラフの近傍複体に関する幾何学的研究

本年度ではグラフの近傍複体に関連する幾何学的研究として、主に二つの研究成果を出すことができた。グラフの彩色数に関するHedetniemi予想とは、二つのグラフGとHに対し定義される積G×Hの彩色数に関する予想であり1956年に提出されて以降、長年未解決のグラフ理論の予想である。私はこのHedetniemi予想から、Z/2ホモトピー論に関する命題を導出することができた。すなわち、得られたZ/2ホモトピー論の命題が成り立たない例を構成することによりHedetniemi予想を反証することになり、Hedetniemi予想解決に関する新たな道筋を開いたことになる。証明には近傍複体と密接に関係する箱複体というグラフから構成されるZ/2-CW複体を用いて行われる。箱複体にはZ/2-ホモトピー型を除いて、いくつかの構成方法が知られているが、従来の構成方法では、随伴関手を持たないなど、圏論的な性質が悪かったのである。一方で、私が本研究において与えた新たな定式化では、箱複体を考える関手がグラフの圏からZ/2-単体複体の圏への右随伴関手になり、さらにその左随伴関手が積を保つという極めて良い性質を持つものを示した。この圏論的によい性質を持つ関手を用いることで、グラフの命題からZ/2ホモトピー論の命題を導くことができた。一方で、de Bruijn-Erdos の定理というグラフ理論の定理から触発され、空間対に対する幽霊写像を定式化し、その性質を調べた。これは大阪府立大学教授の入江幸右衛門教授、および京都大学准教授の岸本大祐准教授との共同研究である。

本年度ではグラフの近傍複体に関連する幾何学的研究として、主に二つの研究成果を出すことができた。グラフの彩色数に関するHedetniemi予想とは、二つのグラフGとHに対し定義される積G×Hの彩色数に関する予想であり1956年に提出されて以降、長年未解決のグラフ理論の予想である。私はこのHedetniemi予想から、Z/2ホモトピー論に関する命題を導出することができた。すなわち、得られたZ/2ホモトピー論の命題が成り立たない例を構成することによりHedetniemi予想を反証することになり、Hedetniemi予想解決に関する新たな道筋を開いたことになる。証明には近傍複体と密接に関係する箱複体というグラフから構成されるZ/2-CW複体を用いて行われる。箱複体にはZ/2-ホモトピー型を除いて、いくつかの構成方法が知られているが、従来の構成方法では、随伴関手を持たないなど、圏論的な性質が悪かったのである。一方で、私が本研究において与えた新たな定式化では、箱複体を考える関手がグラフの圏からZ/2-単体複体の圏への右随伴関手になり、さらにその左随伴関手が積を保つという極めて良い性質を持つものを示した。この圏論的によい性質を持つ関手を用いることで、グラフの命題からZ/2ホモトピー論の命題を導くことができた。一方で、de Bruijn-Erdos の定理というグラフ理論の定理から触発され、空間対に対する幽霊写像を定式化し、その性質を調べた。これは大阪府立大学教授の入江幸右衛門教授、および京都大学准教授の岸本大祐准教授との共同研究である。