組合せ論に関連するホモトピー論の研究

本研究の目的は、グラフの Hedetniemi 予想の幾何学的応用、および相対的幽霊写像の研究である。 Hedetniemi 予想は当該年度中に Shitov により解決され、本研究の方向性を変更することになった。より広く、グラフの彩色問題への幾何学的応用として、 Kneser グラフと Kronecker 二重被覆が同型であるにもかかわらず、元のグラフが同型でないようなグラフの族を決定し、それらの彩色数を決定した。この研究成果は近傍複体の彩色数決定の応用としては、特筆すべきものである。また九州大学の岸本大祐氏との共同研究により、彩色問題への幾何学的応用と関連が深い、 van Kampen-Flores の定理の一般化をすることができた。相対的幽霊写像については、主に有理ホモトピー論の観点から研究を推し進めた。相対的幽霊写像の定義を書く。位相空間 X から位相空間 Y への連続写像 p が与えられたとき、 CW-複体 A から Y への連続写像 f が p に関する相対的幽霊写像であるとは、 f を A の有限次元部分複体に制限したとき、 A を経由する写像とホモトピックであることをいう。特に A が一点空間であるときは、これは f を有限次元複体に制限したときヌルホモトピックになるということを意味し、これは通常の幽霊写像に相当する。相対的幽霊写像に関する本研究での研究成果は、 p が有理ホモトピー同値であるとき、非自明な相対的幽霊写像が存在しないことを示したことである。また McGibbon-Roitberg における通常の幽霊写像の結果を、相対的幽霊写像の場合に拡張することに成功した。

本研究の目的は、グラフの Hedetniemi 予想の幾何学的応用、および相対的幽霊写像の研究である。 Hedetniemi 予想は当該年度中に Shitov により解決され、本研究の方向性を変更することになった。より広く、グラフの彩色問題への幾何学的応用として、 Kneser グラフと Kronecker 二重被覆が同型であるにもかかわらず、元のグラフが同型でないようなグラフの族を決定し、それらの彩色数を決定した。この研究成果は近傍複体の彩色数決定の応用としては、特筆すべきものである。また九州大学の岸本大祐氏との共同研究により、彩色問題への幾何学的応用と関連が深い、 van Kampen-Flores の定理の一般化をすることができた。相対的幽霊写像については、主に有理ホモトピー論の観点から研究を推し進めた。相対的幽霊写像の定義を書く。位相空間 X から位相空間 Y への連続写像 p が与えられたとき、 CW-複体 A から Y への連続写像 f が p に関する相対的幽霊写像であるとは、 f を A の有限次元部分複体に制限したとき、 A を経由する写像とホモトピックであることをいう。特に A が一点空間であるときは、これは f を有限次元複体に制限したときヌルホモトピックになるということを意味し、これは通常の幽霊写像に相当する。相対的幽霊写像に関する本研究での研究成果は、 p が有理ホモトピー同値であるとき、非自明な相対的幽霊写像が存在しないことを示したことである。また McGibbon-Roitberg における通常の幽霊写像の結果を、相対的幽霊写像の場合に拡張することに成功した。