ホモトピー論の、グラフのクロマティック数の計算への応用

同伦理论在图色数计算中的应用

• 批准号: 13J04699
• 负责人: 松下 尚弘
• 金额: $ 1.73万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2013
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2013-04-01 至 2016-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-13J04699/
• 关键词: 単体複体; ポセット; グラフ; 彩色数; 染色数; 近傍複体; 箱複体; Hom複体; グラフ準同型; クロマティック数; ホム複体; 基本群

単純グラフGに対し，Gの頂点集合 V(G)から n 点集合への写像であって，辺で結ばれている頂点においては異なる値をとるもののことを，グラフ G の n 彩色という． G の n 彩色が存在するような最小の n を G の彩色数といい、 c(G) で表す．グラフの彩色数を求める問題をグラフの彩色問題という．彩色問題に対してホモトピー論を初めて応用したのは Lovasz の1979年における Kneser 予想の解決である． Lovasz はグラフに対して近傍複体なる単体複体を定義し，その連結度に 3 を足したものが，元のグラフの彩色数の下界を与えることを示し， Kneser グラフの彩色数を決定した．ホム複体とは二つのグラフの組(T,G)に対して定義されるCW複体Hom(T,G)である． T が2-頂点完備グラフ K_2 のとき， Hom(K_2,G) は G の近傍複体 N(G) にホモトピー同値であることが知られている．近傍複体の時と同様， T がホモトピーテストグラフと呼ばれるときには， Hom(T,G) の連結度に c(T) + 1 を足したものが，グラフ G の彩色数を下から抑えることが知られている．ホモトピーテストグラフの例としては，n が 3 以上のときの n-頂点完備グラフ K_n や n-サイクルグラフ C_n などが知られていた．どのようなグラフがホモトピーテストグラフであるかという問題は，この分野の中心的な話題であった．Kozlov は2006年に任意の二部グラフはホモトピーテストグラフであると予想したが，私はこの予想を解決した．また近傍複体が同型であるにも関わらず，彩色数が異なる例を発見した．これは Lovasz が近傍複体の論文において書いた「グラフの彩色数の近傍複体の位相的特徴付けは存在するか」という問いに対する否定的な解答を与える．

The vertex set V(G) G's n colors exist, c(G) is the smallest n of G's colors. The number of colors in the sky is the number of colors in the sky. The number of colors in the sky is the number of colors in the sky. Color problems were discussed in the early stages of Lovasz's 1979 study by Kneser. Lovasz defines the number of colors in a single complex, and determines the number of colors in a single complex. The CW complex Hom(T,G) is defined as the CW complex Hom(T, G). T 2-vertex complete The time of near complex is the same, T For example, n = 3 and n = 3 and n = 4 and n = 3 and n = 4 and n = 4 and n = 3 and n = 4 and n = 4 Kozlov in 2006 for any two parts of the problem to be solved. Close to the complex, close to the same type, close to the same color, close to the same color. The paper of Lovasz is entitled "The existence of phase characteristics of near-complex in color".

项目成果

Hom 複体が与えるグラフの彩色数の下界について

关于由 Hom 复形给出的图的色数下界

• 发表时间: 2015
• 作者: Chiasa Uragami;Denise Galzerano;Andrew Gall;Yusuke Shigematsu;Maiwen Meisterhans;Naohiro Oka;Masahiko Iha;Ritsuko Fujii;Bruno Robert;and Hideki Hashimoto;Takahiro Matsushita;松下 尚弘
• 通讯作者: 松下 尚弘

The topology of box complexes and the chromatic numbers of graphs

盒复形的拓扑和图的色数

• 发表时间: 2014
• 期刊: RIMS講究録
• 作者: Chiasa Uragami;Denise Galzerano;Andrew Gall;Yusuke Shigematsu;Maiwen Meisterhans;Naohiro Oka;Masahiko Iha;Ritsuko Fujii;Bruno Robert;and Hideki Hashimoto;Takahiro Matsushita
• 通讯作者: Takahiro Matsushita

Box complexes and Kronecker double coverings of graphs

图的盒复形和克罗内克双重覆盖

• 发表时间: 2015
• 作者: Chiasa Uragami;Denise Galzerano;Andrew Gall;Yusuke Shigematsu;Maiwen Meisterhans;Naohiro Oka;Masahiko Iha;Ritsuko Fujii;Bruno Robert;and Hideki Hashimoto;Takahiro Matsushita;松下 尚弘;Takahiro Matsushita
• 通讯作者: Takahiro Matsushita