有理ホモトピー論を用いたストリングトポロジーの研究

有理ホモトピー論の応用として，有理Gorenstein空間上のストリング作用素とその拡張を研究している．ストリング作用素とは，有理Gorenstein空間Mの自由ループ空間LMのホモロジーに入る代数的構造であり，特に「ループ積」と呼ばれる積と「ループ余積」と呼ばれる余積を含むものである．昨年度までの研究において，有理ホモトピー群が有限次元であるようなk連結空間Mと，k次元多様体Sに対して，写像空間Map(S,M)とMap(S#,M)のホモロジーの間に2つの線形写像「ブレーン積」と「ブレーン余積」を導入した．ここで，S#はSをそれ自身と連結和したものである．これらの作用素は，前述のループ積とループ余積の拡張となっている．本年度の研究においては，Sがトーラスの場合にブレーン余積とブレーン積の合成が非自明となっている例を発見した．これは，「ループ余積とループ積の合成が非自明となる例が存在するか」という未解決問題に対する一つの回答を与えている．さらに，ブレーン作用素がストリング作用素を越えて豊富な代数的構造を写像空間のホモロジー上に与えることを示唆している．さらに，M が Poincare 双対性を満たす場合に，「非対称ブレーン余積」という新たな余積を構成した．これは，ループ余積の拡張ではなく，昨年度構成したブレーン余積とは異なっているが，両者を比較することで写像空間のコホモロジーにおけるカップ積のある種の消滅を得た．これは，Menichiによって自由ループ空間の場合に得られていた成果の拡張となっている．

有理ホモトピー論の応用として，有理Gorenstein空間上のストリング作用素とその拡張を研究している．ストリング作用素とは，有理Gorenstein空間Mの自由ループ空間LMのホモロジーに入る代数的構造であり，特に「ループ積」と呼ばれる積と「ループ余積」と呼ばれる余積を含むものである．昨年度までの研究において，有理ホモトピー群が有限次元であるようなk連結空間Mと，k次元多様体Sに対して，写像空間Map(S,M)とMap(S#,M)のホモロジーの間に2つの線形写像「ブレーン積」と「ブレーン余積」を導入した．ここで，S#はSをそれ自身と連結和したものである．これらの作用素は，前述のループ積とループ余積の拡張となっている．本年度の研究においては，Sがトーラスの場合にブレーン余積とブレーン積の合成が非自明となっている例を発見した．これは，「ループ余積とループ積の合成が非自明となる例が存在するか」という未解決問題に対する一つの回答を与えている．さらに，ブレーン作用素がストリング作用素を越えて豊富な代数的構造を写像空間のホモロジー上に与えることを示唆している．さらに，M が Poincare 双対性を満たす場合に，「非対称ブレーン余積」という新たな余積を構成した．これは，ループ余積の拡張ではなく，昨年度構成したブレーン余積とは異なっているが，両者を比較することで写像空間のコホモロジーにおけるカップ積のある種の消滅を得た．これは，Menichiによって自由ループ空間の場合に得られていた成果の拡張となっている．