Brane topology and its applications

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Chas-Sullivan や Cohen-Godin により，向き付けられた閉多様体に対して，その自由ループ空間のホモロジー上にループ積，ループ余積，ストリング括弧積やBV作用素などが定義された．これらを調べるのがストリングトポロジーである．また，ブレーントポロジーとはこれらの一般化として得られるものであり，自由ループ空間を k 次元球面からの写像空間 S^k M に拡張し，その上にブレーン積やブレーン余積などの作用素が定義されている．本研究の特徴として，有理ホモトピー論をはじめとしたホモロジー代数的手法を用いてこれらの対象を研究していることが挙げられる．本年度の研究では，昨年度から引き続いて栗林勝彦氏，内藤貴仁氏，山口俊博氏と共同研究を行い，自由ループ空間のホモロジー上に Fiorenza-Kowalzig の意味での homotopy Cartan calculus を与えた．昨年度の研究において BV 完全性と positive weight の関係を証明したが，自由ループ空間の Sullivan モデル上に代数的に作用素を構成した上で，その作用素が Cartan の公式と呼ばれる関係式を満たしていたことがその証明の鍵となっていた．そこで，Hochschild ホモロジーなどと比較することで Fiorenza-Kowalzig の意味での homotopy Cartan calculus として代数的に調べるとともに，自由ループ空間のホモロジー上の作用素として幾何的記述を与えることに成功した．これらは自由ループ空間のホモロジーにおける新たな作用素の族を与えており，興味深い代数的構造であると言える．