Arithmetische Erweiterungen und Bierweiterungen für algebraische Zykel

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Die Arakelov-Theorie studiert Vektorbündel und algebraische Zykel auf einem arithmetischen Schema unter Zuhilfenahme von hermitescher Differentialgeometrie auf der assoziierten komplexen Mannigfaltigkeit. Diesem Zugang folgend studieren wir hermitesche Vektorbündel auf arithmetischen Schemata und ihre Erweiterungsgruppen und in einem zweiten Teilprojekt algebraische Zykel, deren Höhenpaarung durch eine metrisierte Bierweiterung beschrieben werden soll.Das Teilprojekt VII.1 bearbeite ich gemeinsam mit Jean-Benoit Bost von der Université Paris-Sud (Orsay). Es setzt unsere bisherige Arbeit über arithmetische Erweiterungen und ihre Erweiterungsgruppen fort. Nachdem wir in [BK07] die Grundlagen der Theorie der arithmetischen Erweiterungsgruppen gelegt haben und soll nun die Theorie natürlicher arithmetischer Erweiterungsklassen (Atiyah, Hodge, Schwarz) entwickelt werden. Die Frage, wann diese Klassen verschwinden, führt auf interessante und tiefliegende Probleme der diophantischen Geometrie und der Transzendenztheorie, die untersucht werden sollen.Im Teilprojekt VII.2 soll Blochs Konstruktion einer Gm-Bierweiterung für algebraische Zykel auf algebraischen Varietäten auf den Fall gemischter Charakteristik verallgemeinert werden. Für ein arithmetisches Schema X wird eine metrisierte Version der Blochschen Gm-Bierweiterung gesucht, die die arithmetische Schnittpaarung auf X beschreibt. Dieses Teilprojekt soll im Rahmen einer Promotion bearbeitet werden.