安定性条件を用いた双有理幾何学の研究

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本年度は、代数曲面の爆発によってその上のGieseker安定層のモジュライ空間がどのように変化するかを研究した。このような問題には中島・吉岡による先行研究がある。彼らは爆発前後の曲面上のモジュライ空間をつなぐフリップ型の図式の列を構成し、それを用いてDonaldson不変量の爆発公式を研究した。中間に現れるスキーム達も、ある種の安定性を課した連接層のモジュライ空間として記述され、中島・吉岡の図式はそれらの安定性を変化させてゆくことで得られる。本年度の研究成果として、モジュライ空間が滑らかであるという仮定のもと、中島・吉岡の図式が極小モデルプログラムを実現していることを示した。さらに、モジュライ空間上の連接層の導来圏の間に充満忠実関手を構成した。つまり、極小モデルプログラムと導来圏の間の関係を予想するD/K予想（川又、Bondal-Orlovによる）が成り立つことをこの場合に確認した。例えば、del Pezzo/K3曲面とその一点爆発に対して上記の定理を適用することができる。また、射影平面とその一点爆発上の枠付き連接層のモジュライに対しても同様の主張が成り立つ。結果として、Donaldson不変量、双有理幾何学、導来圏という三つの異なる研究分野の間の興味深い関係が得られた。また、前年度までの研究で、爆発前後の曲面上の２点のヒルベルトスキームの双有理幾何学についてモジュライ論的に研究していたが、本年度の研究でより一般的な形に定理を拡張することに成功した。