Nonintegrability and chaos in general dynamical systems

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線形項の固有値が(3,4,6)となる系はポアンカレの定理により解析的な変換で有限個の共鳴項を持つ標準形に変換可能である。この時に現れる標準形は係数に現れる2つのパラメータを用いて非可積分であるための必要十分条件が分かっている。よって、標準系への変換を計算し変換後の標準形を求めることで、線形項の固有値が(3,4,6)となる標準形とは限らない一般的な方程式の解析的な可積分性が完全に決定できる。Mapleによる数式処理により、与えられた方程式の6次以下の非線形項の係数に現れるパラメータを用いて非可積分であるための必要十分条件を与えることができた。次に、Zungの定理により収束する変換で標準形に変換できない場合は解析的に非可積分である。収束する標準形への変換を持たない例としては、オイラーの研究に現れた(0,1)を固有値に持つ方程式系がある。この系の標準形は共鳴次数が1であり、常に可積分である。Ecalle, Ramis, Martinet, Sauzinらの研究により、さらに一般的な固有値(0,1)を持つ方程式に対して、標準形への変換が収束するための必要十分条件がEcalle不変量と呼ばれる定数により与えられている。特殊の場合には、ボレル・ラプラス変換を用いることで初等的な計算により、方程式から定まる無限級数が０になることと解析的に可積分であることが同値であることが分かった。これらにより、当初予定していた研究計画のほとんどが達成されたと言える。ただし、非可積分性と力学系的な性質の関係に対しては、非ハミルトン系の場合が未解決の問題として残っている。また、標準形への変換を用いた可積分性判定についても、具体的な例を通して有用性を示せたものの、一般的微分方程式系に対して適用できるアルゴリズムを開発することが未解決な問題である。