ファイバー束の特性類

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本研究では、Chenによるde Rhamホモトピー理論を用いたファイバー束の特性類を構成及び、その非自明性とグラフ複体との関連を主題としている。このようなファイバー束の特性類は、ある導分の成すDGLの全Chevalley-Eilenbergコホモロジーにより与えられることがある。本年度、本研究代表者は、このような特性類に関して、主に次の二つの研究を行った。(1)単連結ファイブレーションについて、その特性類は、ファイバーのQuillenモデル上の導分の成すDGLの全Chevalley-Eilenbergコホモロジーにより与えられる。このようなコホモロジーと、2つの微分と次数を持つグラフ複体のコホモロジーと関連することを明らかにした。この二重グラフ複体は、一方の次数が0となる場合は、Kontsevichによるグラフ複体と一致する。具体的な例として、複素射影空間をファイバーにもつ場合に、グラフコホモロジー類と特性類の関連を示している。(2)一般の可微分ファイバー束について、各ファイバーのChenのDGLモデルを考える。このDGLモデルの間を結ぶホモトピーの存在障害類として、底空間上の捩じれコホモロジー類を構成した。このコホモロジーの係数は、ファイバーのChenのDGLモデル上の導分の成すDGLのホモロジーである。この障害類の係数を縮約することで実係数の特性類も得られる。具体的な例として、曲面束の捩じれMorita-Miller-Mumford類や球面束のEuler類が挙げられる。従来、Chenのモデルの変形を用いた特性類は、研究代表者の以前の研究により、底空間が単連結な場合には知られていた。この研究成果は、底空間が単連結な場合にも、Chenのde Rhamホモトピー理論を利用した特性類が構成できることを意味している。