擬準同型とファイバー束の特性類

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本年度は, 擬準同型の拡張不可能性の研究(川崎盛通氏(青山学院大学), 木村満晃氏(京都大学), 松下尚弘氏(琉球大学), 見村万佐人氏(東北大学)との共同研究), および群の円周への作用に関する剛性の研究を行った.前年度に拡張不可能不変擬準同型から葉層束の非自明な特性類を構成する方法を与えたが, この方法で非自明性が証明できる特性類の例を増やした. また前年度に群の円周への作用を用いた拡張不可能不変擬準同型の具体的構成を与えたが, さらにその研究を発展させ, その不変擬準同型の半共役に関する剛性を証明した. これは葉層円周束のオイラー類の剛性から導かれる.平面からカントール集合を除いた曲面の写像類群の円周への作用の剛性が2021年にCalegariとChenにより示された. 彼らの剛性定理についての理解を深めるため, この例についてコホモロジカルな研究を行った. 具体的には, 上記写像類群の円周への作用とポアンカレの回転数を用いたcrossed homomorphismの構成を与え, それと上記写像類群のオイラー類とがスペクトル系列上で対応することを証明した.また, 一次元多様体への群作用についての理解を深めるため, 一次元力学系を用いた不変生成群の研究も行った. 区間の区分線形同相のなすいくつかの群の不変生成性について, 一次元力学系を用いた証明が松田と松元により与えられている. 彼らの例はThompson群Fを含む. 彼らの証明を検証することで, 実数直線の区分射影的同相のなすいくつかの群および, Thompson群Fの派生の一つであるHigman--Thompson群の不変生成性を証明した.