特異点を持つ曲面の局所及び大域的性質の研究

本研究では、特異点を持つ曲面の微分幾何学的性質について以下の結果を得た。1．非退化特異点を持つ波面のガウス写像に現れる特異点の型を主曲率関数の振る舞い(峰点、主曲率関数のヘッセ行列の符号)によって特徴づけた。特に、カスプ辺に対して、その微分幾何学的不変量とガウス写像に現れる特異点の関係を示した。また、カスプ辺の特異点集合と対応するガウス写像の特異点集合との接触具合を考察し、ガウス曲率のある種の有界性との関連を示した。2．3次元双曲空間内の平坦波面と対応して得られる3次元ド・シッター空間内の空間的平坦波面のカスプ辺における不変量の双対性について考察を行った。特に、どちらの場合も、カスプ辺に沿って特異曲率が負になることを示した。また、一方の特異点集合が曲率線を与えるとき、他方は錘状特異点を持つことを示した。本研究は、佐治健太郎氏(神戸大学)との共同研究である。3．ルジャンドル曲線の回転面についての研究を行った。ルジャンドル曲線とは、特異点を許容する平面曲線であり、特異点においても動標構が定まるものをいう。この曲線の回転面は一般に特異点を持ち、枠付き曲線と呼ばれるクラスに属する。本研究では、与えられた関数をガウス曲率や平均曲率に持つ回転面の構成法、回転面に現れる特異点の型とルジャンドル曲線の曲率の関係、錘状特異点の分類などを与えた。なお、本研究は、高橋雅朋氏(室蘭工大)との共同研究である。4．3次元ローレンツ多様体内の混合型曲面に対して、光的点の近くでのガウス曲率の挙動を調べた。また、第k種光的点の概念を定義し、第1種光的点における不変量の定式化を行った。この不変量とガウス曲率の挙動の関係についての結果を得た。本研究は、本田淳史氏(横浜国大)と佐治健太郎氏との共同研究である。

本研究では、特異点を持つ曲面の微分幾何学的性質について以下の結果を得た。1．非退化特異点を持つ波面のガウス写像に現れる特異点の型を主曲率関数の振る舞い(峰点、主曲率関数のヘッセ行列の符号)によって特徴づけた。特に、カスプ辺に対して、その微分幾何学的不変量とガウス写像に現れる特異点の関係を示した。また、カスプ辺の特異点集合と対応するガウス写像の特異点集合との接触具合を考察し、ガウス曲率のある種の有界性との関連を示した。2．3次元双曲空間内の平坦波面と対応して得られる3次元ド・シッター空間内の空間的平坦波面のカスプ辺における不変量の双対性について考察を行った。特に、どちらの場合も、カスプ辺に沿って特異曲率が負になることを示した。また、一方の特異点集合が曲率線を与えるとき、他方は錘状特異点を持つことを示した。本研究は、佐治健太郎氏(神戸大学)との共同研究である。3．ルジャンドル曲線の回転面についての研究を行った。ルジャンドル曲線とは、特異点を許容する平面曲線であり、特異点においても動標構が定まるものをいう。この曲線の回転面は一般に特異点を持ち、枠付き曲線と呼ばれるクラスに属する。本研究では、与えられた関数をガウス曲率や平均曲率に持つ回転面の構成法、回転面に現れる特異点の型とルジャンドル曲線の曲率の関係、錘状特異点の分類などを与えた。なお、本研究は、高橋雅朋氏(室蘭工大)との共同研究である。4．3次元ローレンツ多様体内の混合型曲面に対して、光的点の近くでのガウス曲率の挙動を調べた。また、第k種光的点の概念を定義し、第1種光的点における不変量の定式化を行った。この不変量とガウス曲率の挙動の関係についての結果を得た。本研究は、本田淳史氏(横浜国大)と佐治健太郎氏との共同研究である。