特異性を持つ曲面の局所的性質と構成法に関する研究

本年度は、主としてガウス曲率が負で一定である擬球的曲面の焦面とフロンタル曲面のガウス写像の特異性について研究を行た。これらについて得られた成果は以下のとおりである。１．擬球的曲面の最も基本的な例はベルトラミの擬球と呼ばれる曲面である。この曲面は、犬跡線と呼ばれる平面曲線の回転面として与えられる。また、犬跡線の縮閉線（焦線）は、懸垂線に対応することから、ベルトラミの擬球の焦面は懸垂面（極小曲面）となることが知られていた。本研究では、擬球的曲面の可積分条件であるサイン・ゴルドン方程式の解を用いて、擬球的曲面の焦面が極小曲面になるための条件を与えた。また、その解はディニ曲面に限ることや、焦面が懸垂面から常螺旋面の等長変形を与えることを示した。２．波面でないフロンタル曲面において、その特異点ではガウス写像が特異点を持つことが知られていた。これは波面にはない性質である。本研究では、特異点集合の像が正則曲線となるクラスのフロンタル曲面に対して、そのガウス写像の特異点を幾何学的性質を用いて特徴づけた。特に、波面とは異なる事象として、フロンタル曲面のガウス写像には、階数零の特異点が現れ得ることや、その特異点型がシャークスフィンになるための幾何学的な条件を与えた。これらの研究のほかに、３次元ミンコフスキー空間内の混合型波面や(m,n)-型カスプ辺についての研究を行った。混合型波面については、特異点としてカスプ辺を持つ場合に研究を進めた。本研究では、混合型カスプ辺の標準形を与えた。(m,n)-型カスプ辺については、特異点におけるガウス曲率や平均曲率の有界性・非有界性や発散のオーダーに関して幾何学的性質や特異点型との関係を明らかにした。

本年度は、主としてガウス曲率が負で一定である擬球的曲面の焦面とフロンタル曲面のガウス写像の特異性について研究を行た。これらについて得られた成果は以下のとおりである。１．擬球的曲面の最も基本的な例はベルトラミの擬球と呼ばれる曲面である。この曲面は、犬跡線と呼ばれる平面曲線の回転面として与えられる。また、犬跡線の縮閉線（焦線）は、懸垂線に対応することから、ベルトラミの擬球の焦面は懸垂面（極小曲面）となることが知られていた。本研究では、擬球的曲面の可積分条件であるサイン・ゴルドン方程式の解を用いて、擬球的曲面の焦面が極小曲面になるための条件を与えた。また、その解はディニ曲面に限ることや、焦面が懸垂面から常螺旋面の等長変形を与えることを示した。２．波面でないフロンタル曲面において、その特異点ではガウス写像が特異点を持つことが知られていた。これは波面にはない性質である。本研究では、特異点集合の像が正則曲線となるクラスのフロンタル曲面に対して、そのガウス写像の特異点を幾何学的性質を用いて特徴づけた。特に、波面とは異なる事象として、フロンタル曲面のガウス写像には、階数零の特異点が現れ得ることや、その特異点型がシャークスフィンになるための幾何学的な条件を与えた。これらの研究のほかに、３次元ミンコフスキー空間内の混合型波面や(m,n)-型カスプ辺についての研究を行った。混合型波面については、特異点としてカスプ辺を持つ場合に研究を進めた。本研究では、混合型カスプ辺の標準形を与えた。(m,n)-型カスプ辺については、特異点におけるガウス曲率や平均曲率の有界性・非有界性や発散のオーダーに関して幾何学的性質や特異点型との関係を明らかにした。