特異性を持つ曲面の局所的性質と構成法に関する研究

奇异曲面局部性质及构造方法研究

基本信息

批准号：
22K13914
负责人：
寺本圭佑
金额：
$ 2.91万
依托单位：
Hiroshima University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2026-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

本年度は、主としてガウス曲率が負で一定である擬球的曲面の焦面とフロンタル曲面のガウス写像の特異性について研究を行た。これらについて得られた成果は以下のとおりである。１．擬球的曲面の最も基本的な例はベルトラミの擬球と呼ばれる曲面である。この曲面は、犬跡線と呼ばれる平面曲線の回転面として与えられる。また、犬跡線の縮閉線（焦線）は、懸垂線に対応することから、ベルトラミの擬球の焦面は懸垂面（極小曲面）となることが知られていた。本研究では、擬球的曲面の可積分条件であるサイン・ゴルドン方程式の解を用いて、擬球的曲面の焦面が極小曲面になるための条件を与えた。また、その解はディニ曲面に限ることや、焦面が懸垂面から常螺旋面の等長変形を与えることを示した。２．波面でないフロンタル曲面において、その特異点ではガウス写像が特異点を持つことが知られていた。これは波面にはない性質である。本研究では、特異点集合の像が正則曲線となるクラスのフロンタル曲面に対して、そのガウス写像の特異点を幾何学的性質を用いて特徴づけた。特に、波面とは異なる事象として、フロンタル曲面のガウス写像には、階数零の特異点が現れ得ることや、その特異点型がシャークスフィンになるための幾何学的な条件を与えた。これらの研究のほかに、３次元ミンコフスキー空間内の混合型波面や(m,n)-型カスプ辺についての研究を行った。混合型波面については、特異点としてカスプ辺を持つ場合に研究を進めた。本研究では、混合型カスプ辺の標準形を与えた。(m,n)-型カスプ辺については、特異点におけるガウス曲率や平均曲率の有界性・非有界性や発散のオーダーに関して幾何学的性質や特異点型との関係を明らかにした。

今年，我们主要研究了横向表面的伪球和高斯图的焦点表面的奇异性，在该表面上，高斯曲率为负且恒定。这些获得的结果如下：1。伪层表面的最基本示例是称为bettrami pseudosphere的表面。该弯曲的表面作为平面曲线的旋转表面，称为狗痕量线。此外，由于狗的狭窄线（焦点）仍然对应于悬挂线，因此众所周知，贝尔德拉米纳氏菌的伪层的焦点表面是悬挂表面（超小弯曲表面）。在这项研究中，我们使用了正弦 - 戈登方程的解决方案，这是伪层表面的可集成条件，以使局灶性表面成为最小表面的条件。此外，该溶液仅限于DINI弯曲的表面，并表明焦点表面从悬挂表面提供了正常的螺旋表面的平衡变形。 2。众所周知，在非波额表面，高斯地图在奇异性上具有奇异性。这是波前不存在的属性。在这项研究中，我们表征了高斯地图的奇异性，用于一类额叶表面，其中奇异集的图像是常规曲线。特别是，作为一种与波前不同的现象，额叶表面的高斯图可以具有零等级的奇异性，而奇异性类型的几何条件成为鲨鱼phins。除这些研究外，我们还对三维Minkowsky空间中的混合波前和（M，N）型尖缘进行了研究。当混合波前具有尖端边缘作为单数点时，进行了研究。在这项研究中，我们给出了混合尖侧的标准形式。关于（m，n）型尖端，高斯曲率和无界特性与奇异性下的平均曲率之间的关系通过几何特性和奇异性类型与差异顺序相关。