確率微分方程式に関する数値計算手法の開発

１．Andersson-Kohatsu-Yuasa (subimmited)：Bally-Kohatsu (2015)が提案した確率微分方程式に関するUnbiased simulation methodには分散が発散する改善点がある．そこで，第二種Fredholm積分方程式のorder 1/2をRomberg extrapolation methodを適用し，新たなorder 1の第二種Fredholm積分方程式を考える事で，全てのmomentが有限となるUnbiased estimatorを構築した．また，Bally-Kohatsuで導出されるUnbiased estimatorは負の値をとる為，simulationが安定しない改善点がある．そこで，Poisson kernel methodを適用する事で，高確率で正の値をとるUnbiased estimatorを構築し，efficiencyの改善を行った．さらに，さらなるhigher orderを考察する為に，代数構造を導入している．これはMalliavin解析を用いる事の不可能な確率過程に対する部分積分公式の導出にも応用する事が可能である．２．Akahori-Kinuya-Sawai-Yuasa (preprint)：高次元の確率微分方程式をEuler-Maruyama近似を用いてsimulationする際，Brownian motionは次元に対しても独立性を要求している為，多くの一様乱数を必要とし，efficiencyが悪くなる．そこで，Euler-Maruyama近似のBrownian motionの差分項を完全正規直交基底を用いたEuler-Maruyama近似（同order）を用いる事で，独立性を直交性に置き換え，少ない一様乱数でのsimulationを可能としefficiencyを改善した．

１．Andersson-Kohatsu-Yuasa (subimmited)：Bally-Kohatsu (2015)が提案した確率微分方程式に関するUnbiased simulation methodには分散が発散する改善点がある．そこで，第二種Fredholm積分方程式のorder 1/2をRomberg extrapolation methodを適用し，新たなorder 1の第二種Fredholm積分方程式を考える事で，全てのmomentが有限となるUnbiased estimatorを構築した．また，Bally-Kohatsuで導出されるUnbiased estimatorは負の値をとる為，simulationが安定しない改善点がある．そこで，Poisson kernel methodを適用する事で，高確率で正の値をとるUnbiased estimatorを構築し，efficiencyの改善を行った．さらに，さらなるhigher orderを考察する為に，代数構造を導入している．これはMalliavin解析を用いる事の不可能な確率過程に対する部分積分公式の導出にも応用する事が可能である．２．Akahori-Kinuya-Sawai-Yuasa (preprint)：高次元の確率微分方程式をEuler-Maruyama近似を用いてsimulationする際，Brownian motionは次元に対しても独立性を要求している為，多くの一様乱数を必要とし，efficiencyが悪くなる．そこで，Euler-Maruyama近似のBrownian motionの差分項を完全正規直交基底を用いたEuler-Maruyama近似（同order）を用いる事で，独立性を直交性に置き換え，少ない一様乱数でのsimulationを可能としefficiencyを改善した．