ハンドル体結び目とその補空間構造

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当年度における研究成果は，多重共役カンドルの線形・アフィン拡大に関する基礎理論の構築，メリディアン円板が指定されたハンドル体結び目のイソトピー類の分類，及び有向空間曲面の彩色不変量の構成である．多重共役カンドルとは，ハンドル体結び目の彩色に関して普遍的な性質を持つ，ハンドル体結び目理論における有用な代数である．当年度の研究では，多重共役カンドルの線形拡大及びアフィン拡大に付随する写像の組“(Augmented) MCQ Alexander pair”を導入し，多重共役カンドルの任意の線形拡大及びアフィン拡大はこれらを用いて実現されることを示した．また，ハンドル体結び目の多重共役カンドル彩色理論において，多重共役カンドルのカンドル連結成分を用いることでハンドル体結び目のメリディアン円板を指定できることに着目し，ハンドル体結び目とメリディアン円板の組に対する彩色不変量を構成した．これにより，既存の彩色不変量では区別できないが，当不変量により区別可能なハンドル体結び目とメリディアン円板系の組の例を与えた．空間曲面とは３次元球面に埋め込まれたコンパクト曲面のことであり，近年，空間曲面のReidemeister変形が確立された．当研究では，有向空間曲面のReidemeister変形に基づく代数系を導入し，有向空間曲面の彩色不変量を構成した．また，実際にこの不変量を用いて，有向空間曲面の不可逆性の判定，同一の結び目の最小種数Seifert曲面の分類，３次元球面内でハンドル体を張らない閉曲面の分類など，多くの分類例を与えた．また，これらの研究成果及びその関連研究について，国内外の研究集会で講演を行い他の研究者たちと議論を交わした．