Study of the category of modules over the quantum affine algebras

本年度は、ADE型量子アフィン代数の基本表現の間のR行列の特異性とその応用に関する幾何学的考察を行った。また、国内外の学会・研究集会等においてこれまでに得られた研究成果を発表した。考察の結果、非捩ADE型量子アフィン代数の基本表現の間の正規化されたR行列の分母を、対応する有限ADE型の量子カルタン行列を用いて統一的に表示する簡明な公式を得た。その証明は幾何学的手法を用いるものであり、ここで有限ADE型の次数付き箙多様体の構造を同じADE型のディンキン箙の表現の導来圏におけるホモロジー代数的性質を用いて記述するKeller-Scherotzkeの先行研究（2016年）に着目したことが重要であった。副産物として、基本表現の間のR行列の極の位数が、対応するディンキン箙の適切な直既約表現の間の拡大群の次元に一致することが分かった。これは量子アフィン代数の有限次元加群圏のモノイダル構造をディンキン箙の表現たちのなす加法圏のホモロジー代数的性質を用いて記述できることを示しており、それ自身意義深いものである。応用として、Kang-柏原-Kim（2018年）による「一般化された量子アフィン型シューア・ワイル双対性関手」について、それがADE型量子アフィン代数の基本表現から構成される場合には、次数付き箙多様体を用いた幾何学的解釈が可能であることも示した。また、次数付き箙多様体がA型の次数付き冪零軌道閉包の和と同型になる一連の具体例を構成し、このとき対応するシューア・ワイル双対性関手が、A型アフィン・ヘッケ環の加群圏の適切な局所化Tとアフィン量子群の加群圏の適切なモノイダル部分圏Cのグロタンディック環同型を誘導する非常に良いモノイダル関手であることを証明した。とくにこの関手によって圏Cは圏Tの構造を受け継ぎ、適切な団代数のモノイダル圏化を与えることが分かった。

本年度は、ADE型量子アフィン代数の基本表現の間のR行列の特異性とその応用に関する幾何学的考察を行った。また、国内外の学会・研究集会等においてこれまでに得られた研究成果を発表した。考察の結果、非捩ADE型量子アフィン代数の基本表現の間の正規化されたR行列の分母を、対応する有限ADE型の量子カルタン行列を用いて統一的に表示する簡明な公式を得た。その証明は幾何学的手法を用いるものであり、ここで有限ADE型の次数付き箙多様体の構造を同じADE型のディンキン箙の表現の導来圏におけるホモロジー代数的性質を用いて記述するKeller-Scherotzkeの先行研究（2016年）に着目したことが重要であった。副産物として、基本表現の間のR行列の極の位数が、対応するディンキン箙の適切な直既約表現の間の拡大群の次元に一致することが分かった。これは量子アフィン代数の有限次元加群圏のモノイダル構造をディンキン箙の表現たちのなす加法圏のホモロジー代数的性質を用いて記述できることを示しており、それ自身意義深いものである。応用として、Kang-柏原-Kim（2018年）による「一般化された量子アフィン型シューア・ワイル双対性関手」について、それがADE型量子アフィン代数の基本表現から構成される場合には、次数付き箙多様体を用いた幾何学的解釈が可能であることも示した。また、次数付き箙多様体がA型の次数付き冪零軌道閉包の和と同型になる一連の具体例を構成し、このとき対応するシューア・ワイル双対性関手が、A型アフィン・ヘッケ環の加群圏の適切な局所化Tとアフィン量子群の加群圏の適切なモノイダル部分圏Cのグロタンディック環同型を誘導する非常に良いモノイダル関手であることを証明した。とくにこの関手によって圏Cは圏Tの構造を受け継ぎ、適切な団代数のモノイダル圏化を与えることが分かった。