A study of embeddings between right-angled Artin groups

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直角アルティン群から曲面の写像類群への埋め込みの存在性を考察したが，直角アルティン群の定義グラフを固定して有意義な結果を得ようとするとグラフの複雑性が増し上手くいかなかった．そこで，より位相幾何学的に問題を捉える努力をした．具体的には，グラフのフラッグ複体と呼ばれる単体的複体を用いて，直角アルティン群の定義グラフを位相的に捉え，フラッグ複体が多様体に近い場合には何が起こるかを観察した．その結果，定義グラフのフラッグ複体が2次元球面を部分複体として含むときには，次の意味で直角アルティン群の埋め込みの障害になることが分かった．「グラフΛのフラッグ複体が2次元球面に同相な部分複体をもつとし，Γを任意のグラフとする．もしΛの直角アルティン群がΓの直角アルティン群に埋め込まれるならば，Γのフラッグ複体は2次元球面に同相な部分複体をもつ．」この定理を用いて，2次元球面に同相なフラッグ複体をもつグラフの直角アルティン群から，2次元球面とは位相型の異なる曲面に同相なフラッグ複体をもつグラフの直角アルティン群へは埋め込みが存在しないことも証明できた．これにより，曲面の位相型の分類という古典的な話題と直角アルティン群の埋め込みの問題の間にわずかではあるが橋を渡すことができた．また，定理のキーとなる補題については直角アルティン群から曲面の写像類群への埋め込みの問題においても類似の補題が成立する．ここから直ちに有意義な結果が得られるわけではないが，補題の一般化や精密化によって新規の結果を得ることは可能であると考えている．