ベクトル束の特異エルミート計量と相対随伴束の順像層の正値性の研究

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本研究の主な目的は、ベクトル束の特異エルミート計量の性質を調べることである。本年度は以下の研究成果を得た。(1) ベクトル束の特異計量の中野半正値性の定式化を得た。これに伴い、中野半正値な特異計量に関して局所二乗可積分となる局所正則切断の芽のなす層が連接的であること、適当な次数の微分形式に対するヘルマンダー型のL2評価式が成立すること、Demailly-Nadel-中野型のコホモロジーの消滅定理が成立すること等を証明した。(2) 高次の微分形式に対するある種のヘルマンダー型のL2評価式が成立することと、計量が部分的な正値性を持つことが同値であることを証明した。これは、Berndtsson、細野-稲山、Deng-Ning-Wang-Zhou等の研究によって知られている、ある種のヘルマンダー型のL2評価式が成立することと計量が正値性を持つことが同値であるという結果の、部分的な正値性への一般化である。(3) ベクトル束の計量のGriffiths半正値性を、漸近的なL2評価式の条件やL2拡張定理の条件によって特徴付けることに成功した。(4) 凸領域に付随する管状領域上での大沢-竹腰型のL2拡張定理について研究した。このような領域は非有界になるため通常の大沢-竹腰のL2拡張定理は成り立たないが、ある種の変形を考えることで、この管状領域に付随する領域上での最適定数による大沢-竹腰型のL2拡張定理を証明することに成功した。これを応用することで、凸幾何学における主要な定理であるPrekopaの定理について、非常に簡潔で明快な証明を与えることができることも示した。