志村多様体とｐ進的手法を用いた代数曲面とＴａｔｅ予想の研究

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今年度では，前年度に定式化した weight-monodromy 予想の捩れ係数版を混標数非アルキメデス的局所体上の射影超曲面に対して示すことを動機として，リジッド解析空間のエタールコホモロジーの有限性の l-独立性について研究をした．非アルキメデス付値体上の射影代数多様体 X とその閉部分多様体 Z に対し，リジッド解析的な位相で考えて， Z の X の中での開近傍で，剰余標数と異なる任意の素数 l に対して Z と同じ mod l エタールコホモロジーを持つようなものが存在することを示した．このような開近傍が各々の l に対して取れることは Huber によって証明されていた．証明の中で Orgogozo による「nearby cycle は，オルタレーションで基底を取り変えることを許せば，底変換と可換である」という結果を nearby cycle の係数の標数によらない形に一般化をした．この結果を用いて，代数化可能なリジッド解析空間の射の高次順像に対して，Huber によるエタールホモロジーの有限性定理と Lutkebohmert による円環上の有限エタール被覆の自明化の定理をコホモロジーの係数の標数によらない形で精密化し，その帰結として，上のような開近傍が存在することを証明した．さらに Scholze によるパーフェクトイド空間を用いた議論と組み合わせることで，混標数非アルキメデス的局所体上の射影超曲面に対して weight-monodromy 予想の捩れ係数版を，Cadoret による超積係数版の Weil II に帰着させて証明した．またこれを用いて，混標数非アルキメデス的局所体上の射影超曲面の余次元 2 の代数的サイクルからなる Chow 群のある種の有限性を示した．上記の結果を論文にまとめ，発表，講演をした．