超大規模行列関数を計算可能にする数値計算アルゴリズムの開発

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量子格子色力学・量子情報科学・機械学習といった幅広い科学技術計算に共通して現れる重要な課題の1つに行列関数がある．行列関数とは累乗根や対数関数等の初等関数を行列に拡張したものである．行列関数の計算は行列特有の性質に対する考慮が必要であり，スカラー関数の計算手法を行列向けに書き換えただけでは実用性に欠ける点に難しさがある．本研究の目的は，超大規模行列に対応できる手法である数値積分法の実用化である．より具体的には，行列累乗根および行列対数関数の計算における数値積分法の高速・高精度化に取り組んだ．本年度は，行列関数の数値積分法に対する前処理の研究を進め，加えて，これまでの研究の取りまとめを行った．昨年度提案した前処理は，数値積分法に入力する行列の条件数を下げることで高速化を図るものであった．本年度は昨年度提案した前処理に加えて，積分点数ごとに行列を定数倍することで誤差を小さくする前処理について考察した．ここでは，定数倍のパラメータの決定をある最適化問題に帰着させ，最適化問題を数値的に粗く解くことで良いパラメータを得ることとした．二重指数関数型公式を用いた数値実験において，提案する前処理を用いると，積分点数が小さい場合に2,3桁程度精度が向上する例を確認した．また，これまでの研究のとりまとめとして，行列実数乗（行列累乗根の一般化）に対する二重指数関数型公式の適用と収束率解析による性能評価についての論文を投稿した．