双曲多様体上の素測地線分布とセルバーグゼータ関数の研究

セルバーグゼータ関数は体積有限なリーマン面上の素な測地線の長さに関するオイラー積で定義されるゼータ関数である。素数に関するオイラー積で定義されるリーマンゼータ関数とは、全複素平面上に有理型に解析接続されることや関数等式をもつことなど、少なからず類似する点をもつ一方で、有理型関数としての位数や素元の分布と重複度などの相違点が少なからずあり、これらのゼータ関数としての解析性や値分布を比較することは重要である。2022年度の研究では、セルバーグゼータ関数の値の普遍性の研究に取り組んだ。ゼータ関数の普遍性の研究は1970年代のVoroninによる研究以降、活発に行われているが、そのほとんどはリーマンゼータ関数やディリクレ級数、またはセルバーグクラスのゼータ関数などの位数が1のゼータ関数に関するもので、セルバーグゼータ関数に対しては、Drungilas-Garunkstis-Kacenas(2013)と見正(2021)によるそれぞれモジュラー群と主合同部分群に関する研究しかない。本研究では、このセルバーグゼータ関数の普遍性定理が、モジュラー群と主合同部分群だけでなく、もっと一般的にモジュラー群と不定値四元数環から定義される余コンパクトな群の部分群に対して、成り立つことを証明した。さらに前年度までに得られたセルバーグゼータ関数の２乗積分の評価を応用することで、既存の研究よりも普遍性定理が成り立つ非絶対収束域内の領域を広げることもできた。本研究の成果についてはすでに、国内の研究集会で発表しており、近々論文としてまとめ、国際学術誌に投稿し掲載を目指す予定である。

セルバーグゼータ関数は体積有限なリーマン面上の素な測地線の長さに関するオイラー積で定義されるゼータ関数である。素数に関するオイラー積で定義されるリーマンゼータ関数とは、全複素平面上に有理型に解析接続されることや関数等式をもつことなど、少なからず類似する点をもつ一方で、有理型関数としての位数や素元の分布と重複度などの相違点が少なからずあり、これらのゼータ関数としての解析性や値分布を比較することは重要である。2022年度の研究では、セルバーグゼータ関数の値の普遍性の研究に取り組んだ。ゼータ関数の普遍性の研究は1970年代のVoroninによる研究以降、活発に行われているが、そのほとんどはリーマンゼータ関数やディリクレ級数、またはセルバーグクラスのゼータ関数などの位数が1のゼータ関数に関するもので、セルバーグゼータ関数に対しては、Drungilas-Garunkstis-Kacenas(2013)と見正(2021)によるそれぞれモジュラー群と主合同部分群に関する研究しかない。本研究では、このセルバーグゼータ関数の普遍性定理が、モジュラー群と主合同部分群だけでなく、もっと一般的にモジュラー群と不定値四元数環から定義される余コンパクトな群の部分群に対して、成り立つことを証明した。さらに前年度までに得られたセルバーグゼータ関数の２乗積分の評価を応用することで、既存の研究よりも普遍性定理が成り立つ非絶対収束域内の領域を広げることもできた。本研究の成果についてはすでに、国内の研究集会で発表しており、近々論文としてまとめ、国際学術誌に投稿し掲載を目指す予定である。