New developments for pathologies on singularities in positive characteristic

本研究は正標数代数多様体の病理現象の解明に必要不可欠である、有限群の野生的作用の理解を有限群スキームによる作用の立場から研究し、病理的現象を包含する一般理論の構築を目指すものであり、3つの目的を掲げ研究を行っている。以下、初年度である2022年度に進捗のあった内容について述べる。目的の一つに、有理二重点をモデルとし、各特異点を有限群スキーム商や導分商として捉え直すことで、その「表現論」の構築、そしてMcKay対応の理解へと繋げるものがあった。今年度は特に、標数をpとしたとき、位数がpである有限群による作用の商と長さがpである加法的有限群スキームの作用による商を変形で繋げ、tautではな特異点を記述することでより多くの正標数特有の病理現象の解明にあたった。特異点に限らず準ファイブレーションの存在などの幾何学的現象などの多くの病理現象では、背後にこのような野生的作用と群スキームによる作用があり、全容の解明には遠いが一つ一つ背後にある群および群スキーム作用を具体的現象を通して理解をしている。また、これらの作用を統一的に扱うためには、作用を(擬)導分による商として記述しその変形理論を構築する必要があるが、これまで入られた変形、すなわち導分作用から(擬)導分作用への持ち上げについては微分方程式を解かなければならず標数が2の場合の結果以外には、全ての標数に有効であるような完全に満足のいく結果には至っていない。しかしながら、その前提条件となる加法的群スキーム作用からきまる導分の標準形については、年度途中から開始したに三井氏との共同研究により大きな進展を得ることができている。局所2次元の正則環に対する加法的導分の標準形について標数が2以外の場合に必要十分条件に近い条件がもとまっている。目的の二つ目として、これらの結果を特別な多様体へ適用するものがあったがこれについては進展はまだである。

本研究は正標数代数多様体の病理現象の解明に必要不可欠である、有限群の野生的作用の理解を有限群スキームによる作用の立場から研究し、病理的現象を包含する一般理論の構築を目指すものであり、3つの目的を掲げ研究を行っている。以下、初年度である2022年度に進捗のあった内容について述べる。目的の一つに、有理二重点をモデルとし、各特異点を有限群スキーム商や導分商として捉え直すことで、その「表現論」の構築、そしてMcKay対応の理解へと繋げるものがあった。今年度は特に、標数をpとしたとき、位数がpである有限群による作用の商と長さがpである加法的有限群スキームの作用による商を変形で繋げ、tautではな特異点を記述することでより多くの正標数特有の病理現象の解明にあたった。特異点に限らず準ファイブレーションの存在などの幾何学的現象などの多くの病理現象では、背後にこのような野生的作用と群スキームによる作用があり、全容の解明には遠いが一つ一つ背後にある群および群スキーム作用を具体的現象を通して理解をしている。また、これらの作用を統一的に扱うためには、作用を(擬)導分による商として記述しその変形理論を構築する必要があるが、これまで入られた変形、すなわち導分作用から(擬)導分作用への持ち上げについては微分方程式を解かなければならず標数が2の場合の結果以外には、全ての標数に有効であるような完全に満足のいく結果には至っていない。しかしながら、その前提条件となる加法的群スキーム作用からきまる導分の標準形については、年度途中から開始したに三井氏との共同研究により大きな進展を得ることができている。局所2次元の正則環に対する加法的導分の標準形について標数が2以外の場合に必要十分条件に近い条件がもとまっている。目的の二つ目として、これらの結果を特別な多様体へ適用するものがあったがこれについては進展はまだである。