Modular linear differential equations and vertex operator algebras

今年度は，頂点作用素超代数の指標の満たすモジュラー微分方程式について研究を行った．特に，よく知られた頂点作用素超代数である，N=1およびN=2のスーパーヴィラソロ代数に付随する頂点作用素超代数の表現の指標の満たす微分方程式について考察した．頂点作用素超代数において，現れる微分方程式の係数は，テータ群のモジュラー形式となる．そこで，テータ群のベクトル値モジュラー形式のモジュラーロンスキアンについて考察し，モジュラーロンスキアンを表す公式を見出した．この公式を用いて，ベクトル値モジュラー形式の成分の生成する空間がモジュラー微分方程式の解空間と一致するかどうかを判定する手法を与えた．この結果を用いて，極小モデルとよばれる中心電荷を持つN=1スーパーヴィラソロ代数から構成される頂点作用素超代数の指標はテータ群のモジュラー微分方程式の解空間を生成することを証明した．さらに，ユニタリ系列と呼ばれる中心電荷を持つN=2スーパーヴィラソロ代数から構成される頂点作用素超代数の指標とモジュラー微分方程式の関係についても考察を進め，いくつかの特別な中心電荷について，既約表現の指標の生成する空間が，モジュラー微分方程式の解空間となることを確かめた．より一般のユニタリ系列の中心電荷についても考察を進め，いくつかの場合にモジュラーロンスキアンの形を予想した．この予想を証明できれば，一般のユニタリ系列の場合に，モジュラー微分方程式と指標の関係を明らかにできることが期待される．

今年度は，頂点作用素超代数の指標の満たすモジュラー微分方程式について研究を行った．特に，よく知られた頂点作用素超代数である，N=1およびN=2のスーパーヴィラソロ代数に付随する頂点作用素超代数の表現の指標の満たす微分方程式について考察した．頂点作用素超代数において，現れる微分方程式の係数は，テータ群のモジュラー形式となる．そこで，テータ群のベクトル値モジュラー形式のモジュラーロンスキアンについて考察し，モジュラーロンスキアンを表す公式を見出した．この公式を用いて，ベクトル値モジュラー形式の成分の生成する空間がモジュラー微分方程式の解空間と一致するかどうかを判定する手法を与えた．この結果を用いて，極小モデルとよばれる中心電荷を持つN=1スーパーヴィラソロ代数から構成される頂点作用素超代数の指標はテータ群のモジュラー微分方程式の解空間を生成することを証明した．さらに，ユニタリ系列と呼ばれる中心電荷を持つN=2スーパーヴィラソロ代数から構成される頂点作用素超代数の指標とモジュラー微分方程式の関係についても考察を進め，いくつかの特別な中心電荷について，既約表現の指標の生成する空間が，モジュラー微分方程式の解空間となることを確かめた．より一般のユニタリ系列の中心電荷についても考察を進め，いくつかの場合にモジュラーロンスキアンの形を予想した．この予想を証明できれば，一般のユニタリ系列の場合に，モジュラー微分方程式と指標の関係を明らかにできることが期待される．