頂点作用素代数のモジュラー不変性とテンソル圏に関する研究

今年度は，頂点作用素超代数の指標のモジュラー不変性に関する研究を行った．まず，これまでに知られていたある合同部分群による一点関数の空間のモジュラー不変性について，より大きい合同部分群によるモジュラー不変性が得られるかどうかについて検討した．結果として，一点関数の空間が超代数構造から定まる自己同型を固定するような合同部分群について不変になることを見出し，さらに，有理的な頂点作用素超代数に対して，その一点関数の空間が，既約表現を基底に持つことも，よく知られている結果の自然な拡張として得られることも証明した．この結果を示す過程で，一点関数の満たすモジュラー微分方程式が，今回見出した合同部分群のモジュラー形式を係数に持つように取れることがわかった．特に，頂点作用素超代数の（擬）指標はテータ群と呼ばれる特別な合同部分群により不変となり，さらに，テータ群に関するモジュラー微分方程式を満たすことを示した．また，有理的とは限らない状況において，上で現れるモジュラー微分方程式を解析し，特に（擬）指標のつくるベクトル値モジュラー形式の成分の生成する空間がいつモジュラー微分方程式の解空間を与えるかについて，モジュラーロンスキアンと呼ばれる対象を通して調べる方法について考察した．モジュラーロンスキアンは，モジュラーウェーバー関数とデデキントエータ関数を用いて表す公式が予想できたが，これを証明することは今後の課題である．

今年度は，頂点作用素超代数の指標のモジュラー不変性に関する研究を行った．まず，これまでに知られていたある合同部分群による一点関数の空間のモジュラー不変性について，より大きい合同部分群によるモジュラー不変性が得られるかどうかについて検討した．結果として，一点関数の空間が超代数構造から定まる自己同型を固定するような合同部分群について不変になることを見出し，さらに，有理的な頂点作用素超代数に対して，その一点関数の空間が，既約表現を基底に持つことも，よく知られている結果の自然な拡張として得られることも証明した．この結果を示す過程で，一点関数の満たすモジュラー微分方程式が，今回見出した合同部分群のモジュラー形式を係数に持つように取れることがわかった．特に，頂点作用素超代数の（擬）指標はテータ群と呼ばれる特別な合同部分群により不変となり，さらに，テータ群に関するモジュラー微分方程式を満たすことを示した．また，有理的とは限らない状況において，上で現れるモジュラー微分方程式を解析し，特に（擬）指標のつくるベクトル値モジュラー形式の成分の生成する空間がいつモジュラー微分方程式の解空間を与えるかについて，モジュラーロンスキアンと呼ばれる対象を通して調べる方法について考察した．モジュラーロンスキアンは，モジュラーウェーバー関数とデデキントエータ関数を用いて表す公式が予想できたが，これを証明することは今後の課題である．