物質場付きアインシュタイン方程式とケーラー幾何

アインシュタイン方程式は幾何学、および物理学（重力理論）において最も重要な偏微分方程式の一つである。微分幾何学において主に扱われるアインシュタイン方程式は物質場を伴わないものであるが、重力理論においては物質場を考えることが極めて自然である。本研究は物質場付きのアインシュタイン方程式の解の存在問題、および、その幾何学的性質を、ケーラー多様体や佐々木多様体の複素幾何的情報を基に解明することを目的とする。本年度は次の結果を得た：物質場としてリーマン多様体上の微分形式を考え、アインシュタイン・ヒルベルト汎関数と物質場のL^2ノルムの和のオイラー・ラグランジュ方程式を「アインシュタイン-調和方程式」と呼ぶことにする。この方程式は物理（重力理論）においては以前から知られていたが、数学（幾何学）において扱われることはほとんどなかった。また、アインシュタイン-調和方程式はリッチ曲率を用いて書かれるため、知られている例はアインシュタイン多様体をもとに作られたものであった。そのような状況の中、LeBrun によるアインシュタイン・マックスウエル方程式の研究により、複素2次元スカラー曲率一定ケーラー多様体がアインシュタイン-調和方程式の解を与えることが明らかになった。申請者はこの結果を一般化し、次のことを示した；複素2n次元スカラー曲率一定ケーラー多様体上、ある2n次調和形式が存在し、それらの組はアインシュタイン-調和方程式の解となる。

アインシュタイン方程式は幾何学、および物理学（重力理論）において最も重要な偏微分方程式の一つである。微分幾何学において主に扱われるアインシュタイン方程式は物質場を伴わないものであるが、重力理論においては物質場を考えることが極めて自然である。本研究は物質場付きのアインシュタイン方程式の解の存在問題、および、その幾何学的性質を、ケーラー多様体や佐々木多様体の複素幾何的情報を基に解明することを目的とする。本年度は次の結果を得た：物質場としてリーマン多様体上の微分形式を考え、アインシュタイン・ヒルベルト汎関数と物質場のL^2ノルムの和のオイラー・ラグランジュ方程式を「アインシュタイン-調和方程式」と呼ぶことにする。この方程式は物理（重力理論）においては以前から知られていたが、数学（幾何学）において扱われることはほとんどなかった。また、アインシュタイン-調和方程式はリッチ曲率を用いて書かれるため、知られている例はアインシュタイン多様体をもとに作られたものであった。そのような状況の中、LeBrun によるアインシュタイン・マックスウエル方程式の研究により、複素2次元スカラー曲率一定ケーラー多様体がアインシュタイン-調和方程式の解を与えることが明らかになった。申請者はこの結果を一般化し、次のことを示した；複素2n次元スカラー曲率一定ケーラー多様体上、ある2n次調和形式が存在し、それらの組はアインシュタイン-調和方程式の解となる。