Geometric analysis for non-symmetric generators on Riemannian manifolds

黎曼流形上非对称生成元的几何分析

• 批准号: 22K03280
• 负责人: 石渡 聡
• 金额: $ 2.5万
• 依托单位: Yamagata University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2027-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03280/
• 关键词: 非対称拡散過程; 多様体の離散近似; 半群の収束; 非対称ブラウン運動; 非対称ランダムウォーク; 熱核; 推移確率; 関数不等式

多様体の離散近似の理論は、最近注目されている多様体学習や数値計算理論の発展に伴い重要な研究対象である。これらを動機として今年度はComplete Riemann manifold 上の Laplacian, drift 項(Flow:流れ)、potential項(killingの意味を持つ)により与えられる作用素Lが生成非対称拡散過程の離散近似について、連携研究者である慶應義塾大学の河備教授と共同研究を行い、Lumer-Phillips の定理によりLが縮小半群の生成作用素であるための必要十分条件である drift項とpotential項が maximal dissipativity(極大消散的)であるという条件もつときに近接グラフ上に flow, killing の影響を持った (非対称）ランダムウォークを定義し、グラフを細かくしていくと非対称拡散過程（半群）に収束させることができるというタイプの極限定理を証明した。これらは河備氏との共著論文としてまとめ、現在投稿中である。また、２０２２年１２月に京都大学数理解析研究所で開催された確率論シンポジウム等で研究発表を行い、主に確率論の専門家との意見交換によりさまざまな展開、応用が期待できることがわかった。この極限定理は近接グラフの（具体的な）列に関する極限定理であり、今後これをランダム化して多様体学習理論などへの応用が期待される結果である。また、これまでは Feynmann-Kacの公式として知られている非対称作用素により生成される半群積分を用いた表示を離散的な量による近似が可能となり、統計学をはじめ様々な応用の場面での貢献が期待される。

由于流形学习和数值计算理论的发展获得了最近的关注，因此流形的离散近似理论是研究的重要主题。考虑到这些因素，今年，我们与合作研究人员Keio University的Kawabi教授进行了联合研究人员，涉及laplacian和Drift术语（流）和潜在的术语（具有杀戮的含义）对操作员的不对称扩散过程的离散近似。 Lumer-Phillips的定理定义了（不对称的）随机行走，当漂移项和潜在项（即L是减少尺寸的半群的发生者）是最大的耗散性时，其流动项和潜在条款是最必要的条件，这是最大的条件。通过缩小图形，我们定义了一种限制定理，该定理会收敛到不对称扩散过程（半群）。这些是作为与川比先生合着的论文编辑的，目前正在提交。此外，在2022年12月在京都大学数学分析研究所举行的概率理论研讨会上进行了研究演讲，发现可以通过与概率理论专家交流意见来期望各种发展和应用。该限制定理是（特定）接近图的限制定理，并且结果预计将来会随机化并应用于流动学习理论和其他应用。此外，可以使用离散量的非对称操作员生成的不对称操作员生成的半群积分来近似表示表示，并有望为包括统计数据在内的各种应用程序做出贡献。

项目成果

リーマン多様体上の非対称拡散過程の離散近似

黎曼流形上不对称扩散过程的离散近似

• 发表时间: 2023
• 作者: 石渡聡;河備浩司
• 通讯作者: 河備浩司

非対称ブラウン運動の幾何解析

非对称布朗运动的几何分析

• 发表时间: 2022
• 作者: 石渡聡;河備浩司;石渡聡
• 通讯作者: 石渡聡