表現論的構造のパラメタ変形から生じる表現論・数論・組合せ論

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本課題では表現論的構造のパラメタ変形に由来する問題を対象としている。本年度は、アルファ行列式（関連してリース行列式、帯球関数）と非可換調和振動子（特にスペクトルゼータ関数の特殊値とアペリ型数列）について以下のような研究を行った。(1) リース行列式、対称群と長方形ヤング図形に対応する部分群の対に対する「帯球関数」、および関連する話題（有限グラフの無限族に対する正規化ラプラシアン行列のアルファ行列式やイマナントの振る舞い、ラテン方陣に関するAlon-Tarsi予想など）について研究を続けている。周縁的な話題としてグラフの二変数ゼータ関数（代数多様体の合同ゼータ関数の類似物）について具体的な計算や一般的性質についての研究を進めている。(2) 非可換調和振動子のスペクトルゼータ関数の特殊値は「リーマンゼータ値＋（パラメタの特殊化で消える）有限和の剰余項」という形をしており、剰余項の「第一項」からアペリ型数列と呼んでいる数列の族が定まる。このアペリ型数列については、漸化式、母関数の持つモジュラー性に類する性質、アペリ型数列を正規化して得られる有理数列の満たす合同関係式などを調べてきた。非可換調和振動子のスペクトルゼータ値に由来するアペリ型数列とよく似たアペリ型数列が満たす超合同関係式（高い素数べきを法とする合同関係式）について、OISTに滞在中であった University College Dublin の Robert Osburn 氏と研究を行った。目標とする予想の解決に向けて技術的な進展があったが、完全な解決はまだ遠い状況にある。この議論の中で必要となる事実のうち、簡単ではあるが興味を引く結果について論文にまとめた。