Geometry of Mirror Symmetry

镜面对称的几何

基本信息

批准号：
22K03296
负责人：
金沢篤
金额：
$ 2.33万
依托单位：
Keio University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2027-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

Dolgachevによる格子偏極K3曲面のミラー対称性の定式化は, "偏極格子の(K3格子内での)直交補格子が双曲格子Uを含む"という条件が課されるため, ミラー対称性の完全な定式化とはなり得ないことが知られていた. 以前の研究において, 我々は対象を一般化K3曲面に拡張することでこの問題を解決し, 一般化K3曲面のミラー対称性の定式化を提案した. 鍵となるアイデアは向井格子偏極である. 本年度は特に直交補格子が双曲格子の真の定数倍U(k)のみ含む場合をさらに考察し, 幾何学的にはBrauer群の捻り, 及び非可換変形として理解できることを示した. また向井格子偏極を課した一般化K3曲面のモジュライ空間の記述をより明確にし, 共形場理論的なミラー対称性(Aspinwall-Morrison)との関係を明らかにした.細野忍氏との共同研究において, 種数1のミラー対称性(BCOV理論の特別な場合)を援用することで, 格子偏極K3曲面のモジュライ空間であるIV型対称領域のカスプ形式を構成する新たな手法を提案した. 具体的には, 3次元Calabi-Yau多様体に関する種数1のWitten指数の位相極限公式をK3曲面に適当に適用することでBCOV公式を定義し, さらにモジュライ空間上で自然な境界条件を課すことで保型形式が得られることを多くの例で確認した. 特にClingher-Doranが研究したU+E_8+E_9偏極K3曲面に対しては, BCOV公式から井草カスプ形式が得られることを示した. 一般論を確立するまでには至っていないが, 多くの興味深い例の存在はこの新しい分野の重要性を示唆していると考えている.

众所周知，dolgachev的晶格极化K3表面的镜像对称性不可能是镜像对称性的完美表述，因为这种条件是在偏光晶格的正交补体（在K3晶格中）（在K3 lattice中）（在K3 lattice中）在“ Orthogolity y Innderbiety Altybiles a polartiely Blate a polartield aptrate a polartient of tarterized a polartient ot tarty of the Ortate a polartield oft oft paltiperized a poly s poltation a poly paltiperiate a poltation”晶格U”在先前的研究中，我们通过将受试者扩展到广义K3表面并提出制定广义K3表面的镜像对称性来解决此问题。关键思想是mukai晶格极化。今年，我们进一步研究了正交补体仅包含双曲线晶格的真实多个u（k）的情况，并表明它可以理解为Brauer组的扭曲和非交通变形。我们还对Mukai晶格极化施加的广义K3表面的模量空间进行了更清晰的描述，以及与保形场镜像对称理论（Aspinwall-Morrison）的关系。在与Hosono Shinobu的联合研究中，我们提出了一种新的方法，用于构建IV对称区域的尖锐形式，该区域是晶状体偏置K3表面的模块空间，通过结合1种的镜像对称性（BCOV理论的特殊情况）。具体而言，我们通过适当地将1种的Witten指数的相位限制公式用于K3表面的3D Calabi-yau歧管，并在许多示例中证实，可以通过模量空间中的自然边界条件来获得保护形式，从而定义了BCOV公式。特别是，我们表明可以从BCOV公式获得Igusa尖缘形式，尤其是对于Clingher-Doran研究的U+E_8+E_9偏光K3表面。尽管尚未以一般术语建立，但我们认为，许多有趣的例子的存在表明了这个新领域的重要性。