A study of homological invariants of knots and 3-manifolds

米澤は、一般型変形Webster代数を構成し、この代数の両側加群圏のホモトピー代数を利用して、新たな結び目ホモロジー不変量や新たな3次元多様体ホモロジー不変量の構成を目指して、取り組んだ。A1型の場合は、結び目ホモロジー不変量に関しては米澤とKhovanov、Lauda、Sussanが以前に構成した結果、3次元多様体ホモロジー不変量に関しては米澤とQi、Sussanと以前に構成した結果があり、本研究課題はその一般化にあたる。つまり、これはA1型の場合を一般型に拡張することへ向けての、重要な研究であると考えられる。両側加群圏を利用したホモロジー不変量が構成されれば、旗多様体の導来圏といった異なる圏でも本研究で構成する構造が存在している可能性があり、本研究は新規性だけでなく他分野への新たな研究示唆を与えることが期待できる。米澤は、まずLaudaと構成したA1型変形Webster代数を一般型に拡張することに取り組んだ。A1型変形Webster代数をAn型に自然に拡張すると、An型量子群の基本表現の構造を含むものが得られた。同様にして一般型にも拡張できることは自然と期待でき、一般型量子群の基本表現の構造を含む一般型変形Webster代数を与えることができた。また、この一般型変形Webster代数はKhovanov-Lauda-Rouquier代数の部分代数として構成しており、Webster代数はKhovanov-Lauda-Rouquier代数の商代数であることが明らかになった。さらに、Khovanov-Lauda-Rouquier代数は、KhovanovとQiによってpDG構造が定義されていることから、議論することなく一般型変形Webster代数にも自然にpDG構造が定義できることも明らかとなった。

米澤は、一般型変形Webster代数を構成し、この代数の両側加群圏のホモトピー代数を利用して、新たな結び目ホモロジー不変量や新たな3次元多様体ホモロジー不変量の構成を目指して、取り組んだ。A1型の場合は、結び目ホモロジー不変量に関しては米澤とKhovanov、Lauda、Sussanが以前に構成した結果、3次元多様体ホモロジー不変量に関しては米澤とQi、Sussanと以前に構成した結果があり、本研究課題はその一般化にあたる。つまり、これはA1型の場合を一般型に拡張することへ向けての、重要な研究であると考えられる。両側加群圏を利用したホモロジー不変量が構成されれば、旗多様体の導来圏といった異なる圏でも本研究で構成する構造が存在している可能性があり、本研究は新規性だけでなく他分野への新たな研究示唆を与えることが期待できる。米澤は、まずLaudaと構成したA1型変形Webster代数を一般型に拡張することに取り組んだ。A1型変形Webster代数をAn型に自然に拡張すると、An型量子群の基本表現の構造を含むものが得られた。同様にして一般型にも拡張できることは自然と期待でき、一般型量子群の基本表現の構造を含む一般型変形Webster代数を与えることができた。また、この一般型変形Webster代数はKhovanov-Lauda-Rouquier代数の部分代数として構成しており、Webster代数はKhovanov-Lauda-Rouquier代数の商代数であることが明らかになった。さらに、Khovanov-Lauda-Rouquier代数は、KhovanovとQiによってpDG構造が定義されていることから、議論することなく一般型変形Webster代数にも自然にpDG構造が定義できることも明らかとなった。