擬等角解析および粗幾何による正則力学系とそのモジュライ空間の研究

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擬等角写像と双曲幾何学との関連性について調べた．リーマン面上の双曲測地線に対する擬等角変形の影響について考察した．具体的には双曲測地線間の距離の変動について研究し，擬等角写像の最大歪曲度を用いてその変化を評価した．その際に，ある種の極値問題が重要であることが認識され，その評価について研究した．実際には，それが単射半径と深い関連があることを発見し，そのことと古典的な幾何学的函数論の議論を用いて，有効な評価を得た．この手法は他に類を見ないもので，更なる応用ができるものと期待している.また，位相的に無限型のリーマン面の擬等角変形に着目し，ショットキー群の変形空間と古典的なカントール集合の変形空間の関係を解明し，後者がある種の普遍性を持っていることを示した．この考察をさらに押し進めて，一般化されたカントール集合が擬等角同値になるとき，その最大歪曲度についてのカントール集合を構成する無限列の挙動を用いて評価した．さらに，擬円周がDirichlet有限な調和関数への有界作用素を誘導するという事実を一般のリーマン面に拡張した．これはコンパクトリーマン面におけるSchippers-Staubachの結果の拡張である．これは開リーマン面の理想境界の特質を表すものとして今後の研究が期待される．これらの研究においては，解析的な手法に加えて，幾何学的・位相幾何学的手法を組み合わせて用いるのが特徴である．このことによって，超越的な結果も得ることができる．